線性代數之 四個基本子空間

1. 四個基本子空間

2. r

rr 的四個基本子空間

假設 a

aa 的最簡行階梯形式為 r

rr，我們可以很容易地從 r

rr 找到四個子空間。

矩陣 r

rr 中有兩個主元，因此其秩為 2。

行空間的維數等於秩，為 2，其中乙個基可以取 r

rr 的前兩行。

列空間的維數等於秩，為 2，主元所在的列為第一列和第四列，因此其中乙個基為 r

rr 中對應的兩列。

零空間的維數等於 n−r

n-rn−

r，為 3，有三個自由變數，因此對應著三個特解，它們就是零空間的乙個基。

左零空間尋找的是 r

rr 的行的線性組合來產生乙個零向量。

顯而易見，y

1y_1

y1​ 和 y

2y_2

y2​ 必須為 0，而 y

3y_3

y3​ 可以取任意值。左零空間的乙個基為 (0, 0, 1)，維數為 m−r

aa 的四個基本子空間

r

rr 和 a

aa 有著相同的行空間、維數 r

rr 和基。

ra=e

−1rea=r \quad a = e^r

ea=ra=

e−1r

由矩陣乘法可知，r

rr 的每一行都是對 a

aa 的行的線性組合，而且 a

aa 的每一行也都是對 r

rr 的行的線性組合。因此，消元只是改變了行，並沒有改變行空間。

ax=

0ax=0

ax=0

當且僅當 rx=

0rx=0

rx=0

，它們的 r

rr 個主列都是不相關的，它們的列空間維數都為 rrr。

aa 的列可以看作是對 e−1

e^e−

1 的列的線性組合，因此 a

aa 和 e−1

e^e−

1 有著相同的列空間。

r

rr 和 a

aa 有著相同的零空間、維數和基，因為消元並不改變方程組的解。

a

aa 的左零空間維數為 m−r

m-rm−

r。

rr 的最後 m−r

m-rm−

r 行為全零行，也就是 e

ee 中最後 m−r

m-rm−

r 行對 a

aa 的行的線性組合產生了零向量，因此它們是左零空間的乙個基。

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