堆其實就是一種特殊的樹，那它特殊在**呢？只要滿足了以下兩點的，我們就可以稱之為堆。
1.堆是乙個完全二叉樹
2.堆中每乙個節點的值都必須大於等於（或者小於等於）其子樹中每個節點的值。
這裡稍作解釋，對於第一點，我們前面講過，完全二叉樹就是除了最後一層，其他層的節點個數都是滿的，最後一層的節點都靠左排列。
對於第二點，其實我們可以換一種說法，堆中每乙個節點的值都必須大於等於（或者小於等於）其左右子節點的值。對於堆中每乙個節點的值都大於等於子樹中每乙個節點值的堆，我們叫做「大頂堆」，對於堆中每乙個節點的值都小於等於子樹中每乙個節點值的堆，我們叫做「小頂堆」。
前面我們說過，完全二叉樹適合使用陣列來儲存，用陣列來儲存可以非常的節省儲存空間，因為我們不用像使用鍊錶那樣，需要儲存左右子節點的指標，單純的通過陣列的下標，就可以找到乙個節點的左右子節點和父節點。下面這張圖是用陣列儲存堆的乙個例子，可以看下（來自極客時間《資料結構與演算法之美》）
從圖中我們可以看到，下標為i的節點的左子節點，就是下標為i2的節點，右子節點就是下標為i2+1的節點，父節點就是下標為i/2的節點。
1.插入乙個元素
插入乙個元素後，我們仍然必須滿足堆的兩個特性，所以要想插入乙個元素，我們必須先查找到乙個合適的位置再給它插入，這樣也就需要不斷調整，讓其滿足堆的特性，這個進行調整的過程，我們叫做堆化(heapify)
堆化的過程是這樣的，我們順著節點所在的路徑，向上或者向下，對比，然後交換。例如：我們可以讓新插入的節點與父節點對比大小，如果不滿足子節點小於等於父節點的大小關係，我們就互換兩個節點。一直重複這個過程，直到父子節點之間滿足剛才說的那種大小關係。（這裡以大頂堆作為例子）
結合著**看下：
public class heap
public void insert(int data)
} }
具體怎麼做呢？
我們把最後乙個節點放到堆頂，然後利用同樣的父子節點對比方法。對於不滿足父子節點大小關係的，互換兩個節點，並且重複進行這個過程，直到父子節點之間滿足大小關係為止。
因為我們移除的是陣列中的最後乙個元素，而在堆化的過程中，都是交換操作，不會出現陣列中的「空洞」，所以這種方法堆化之後的結果，肯定滿足完全二叉樹的特性。
**例項：
public void removemax()
private void heapify(int a, int n, int i)
}
所謂的堆排序，就是我們借助於堆這種資料結構實現的排序演算法，就叫作堆排序。這種排序方法的時間複雜度非常穩定，是o(nlogn)（和快排一樣），並且它還是原地排序演算法。
假設現在我們有乙個大頂堆，陣列中的第乙個元素就是堆頂，也就是最大的元素。我們把它跟最後乙個元素交換，那最大元素就放到了下標為n的位置。
這個過程有點類似上面講的「刪除堆頂元素」的操作，當堆頂元素移除之後，我們把下標為n的元素放到堆頂，然後再通過堆化的方法，將剩下的n−1個元素重新構建成堆。堆化完成之後，我們再取堆頂的元素，放到下標是n−1的位置，一直重複這個過程，直到最後堆中只剩下標為1的乙個元素，排序工作就完成了。
例項**：
// n 表示資料的個數，陣列 a 中的資料從下標 1 到 n 的位置。
public static void sort(int a, int n)
}
堆排序不是穩定的排序演算法，因為在排序的過程，存在將堆的最後乙個節點跟堆頂節點互換的操作，所以就有可能改變值相同資料的原始相對順序。
堆排序（這個我們上面講過），優先順序佇列，求topk，求中位數。
應用一：優先順序佇列
優先順序佇列它本身是乙個佇列，我們知道佇列的特性就是先進先出，但是對於優先順序佇列，資料的出隊順序並不是先進先出，而是安裝優先順序來的，優先順序高的，最先出隊。
實現優先順序佇列的方法有很多，但是用堆來實現最直接，最高效。這是因為堆和優先順序佇列很相似，乙個堆可以看作乙個優先順序佇列。往優先順序佇列中插入乙個元素，就相當於往堆中插入乙個元素；從優先順序佇列中取出優先順序最高的元素，就相當於取出堆頂元素。
例1合併有序小檔案：
假設我們有100個小檔案，每個檔案的大小是100mb，每個檔案中儲存的都是有序的字串。我們希望將這些100個小檔案合併成乙個有序的大檔案。這裡就會用到優先順序佇列，也可以說是堆。將從小檔案中取出來的字串放入到小頂堆中，那堆頂的元素，也就是優先順序佇列隊首的元素，就是最小的字串。我們將這個字串放入到大檔案中，並將其從堆中刪除。然後再從小檔案中取出下乙個字串，放入到堆中。迴圈這個過程，就可以將100個小檔案中的資料依次放入到大檔案中。
刪除堆頂資料和往堆中插入資料的時間複雜度都是o(logn)，n表示堆中的資料個數，這裡就是100。
例2高效能定時器：
假設我們有乙個定時器，定時器中維護了很多定時任務，每個任務都設定了乙個要觸發執行的時間點。定時器每過乙個很小的單位時間（比如1秒），就掃瞄一遍任務，看是否有任務到達設定的執行時間。如果到達了，就拿出來執行。但是這種每過1秒就掃瞄一遍任務列表的做法比較低效，主要原因有兩點：第一，任務的約定執行時間離當前時間可能還有很久，這樣前面很多次掃瞄其實都是徒勞的；第二，每次都要掃瞄整個任務列表，如果任務列表很大的話，勢必會比較耗時。
看看如何用優先順序佇列來解決，按照任務設定的執行時間，將這些任務儲存在優先順序佇列中，佇列首部（也就是小頂堆的堆頂）儲存的是最先執行的任務。這樣就不用每隔1s去掃瞄了，拿到隊首任務的執行時間與當前的時間點相減，得到乙個時間間隔t。這個時間間隔t就是從當前時間開始，需要等待多久，才會有第乙個任務需要被執行。這樣我們的定時器就可以設定在t秒後再來執行這個任務，而不需要每隔一秒去掃瞄，整體效能就提高了。
應用二：求top k問題
求top k問題可以分為兩類，一種是針對靜態資料集合，一種是針對動態資料集合。
針對靜態資料集合，如何在乙個包含n個資料的陣列中，查詢前k大資料呢？
可以通過維護乙個大小為k的小頂堆，順序遍歷陣列，從陣列中取出取資料與堆頂元素比較。如果比堆頂元素大，我們就把堆頂元素刪除，並且將這個元素插入到堆中；如果比堆頂元素小，則不做處理，繼續遍歷陣列。這樣等陣列中的資料都遍歷完之後，堆中的資料就是前k大資料了。
遍歷陣列需要o(n)的時間複雜度，一次堆化操作需要o(logk)的時間複雜度，所以最壞情況下，n個元素都入堆一次，所以時間複雜度就是o(nlogk)。
針對動態資料集合，我們可以一直都維護乙個k大小的小頂堆，當有資料被新增到集合中時，我們就拿它與堆頂的元素對比。如果比堆頂元素大，我們就把堆頂元素刪除，並且將這個元素插入到堆中；如果比堆頂元素小，則不做處理。這樣，無論任何時候需要查詢當前的前k大資料，我們都可以裡立刻返回給他。
應用三：求中位數
如何求動態資料集合中的中位數？
針對動態資料集合，中位數在不停地變動，如果採用先排序的方法，每次詢問中位數的時候，都要先進行排序，那效率就不高了。
事實上，借助堆這種資料結構，我們不用排序，就可以非常高效地實現求中位數操作。具體如何做呢？
我們需要維護兩個堆，乙個大頂堆，乙個小頂堆。大頂堆中儲存前半部分資料，小頂堆中儲存後半部分資料，且小頂堆中的資料都大於大頂堆中的資料。這樣，大頂堆中的堆頂元素就是我們要找的中位數。
那當新新增乙個資料的時候，我們如何調整兩個堆，讓大頂堆中的堆頂元素繼續是中位數呢？
如果新加入的資料小於等於大頂堆的堆頂元素，我們就將這個新資料插入到大頂堆；否則插入小頂堆中。
但是這樣就有可能出現，兩個堆中的資料個數不符合前面約定的情況，那怎樣解決呢？我們可以從乙個堆中不停地將堆頂元素移動到另乙個堆，通過這樣的調整，來讓兩個堆中的資料滿足上面的約定。
插入資料因為需要涉及堆化，所以時間複雜度變成了o(logn)，但是求中位數我們只需要返回大頂堆的堆頂元素就可以了，所以時間複雜度就是o(1)。
python演算法與資料結構（19）堆
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