動態規劃揹包問題

話說有一哥們去森林裡玩發現了一堆寶石，他數了數，一共同擁有n個。但他身上能裝寶石的就僅僅有乙個揹包，揹包的容量為c。這哥們把n個寶石排成一排並編上號： 0,1,2,…,n-1。

第i個寶石相應的體積和價值分別為v[i]和w[i] 。排好後這哥們開始思考：揹包總共也就僅僅能裝**積為c的東西。那我要裝下哪些寶石才幹讓我獲得最大的利益呢？

ok，假設是你，你會怎麼做？你斬釘截鐵的說：動態規劃啊！恭喜你，答對了。

那麼讓我們來看看。動態規劃中最最最重要的兩個概念：狀態和狀態轉移方程在這個問題中各自是什麼。

我們要如何去定義狀態呢？這個狀態總不能是憑空想象或是從天上掉下來的吧。為了方便說明，讓我們先例項化上面的問題。

一般遇到n，你就果斷地給n賦予乙個非常小的數，比方n=3。然後設揹包容量c=10，三個寶石的體積為5，4。3，相應的價值為20，10。12。

對於這個樣例，我想智商大於0的人都知道正解應該是把體積為5和3的寶石裝到揹包裡，此時相應的價值是20+12=32。接下來，我們把第三個寶石拿走，同一時候揹包容量減去第三個寶石的體積（由於它是裝入揹包的寶石之中的乙個）。於是問題的各引數變為：n=2，c=7，體積｛5，4｝。價值｛20，10｝。好了。如今這個問題的解是什麼？我想智商等於0的也解得出了：把體積為5的寶石放入揹包（然後剩**積2。裝不下第二個寶石。僅僅能眼睜睜看著它溜走），此時價值為20。

這樣一來，我們發現，n=3時。放入揹包的是0號和2號寶石。當n=2時，我們放入的是0號寶石。這並非乙個偶然。沒錯。這就是傳說中的「全域性最優解包括區域性最優解」（n=2是n=3情況的乙個區域性子問題）。繞了那麼大的圈子。你可能要問。這都哪跟哪啊？說好的狀態呢？說好的狀態轉移方程呢？別急，它們已經呼之欲出了。

我們再把上面的樣例理一下。當n=2時，我們要求的是前2個寶石。裝到體積為7的揹包裡能達到的最大價值；當n=3時，我們要求的是前3個寶石，裝到體積為10的揹包裡能達到的最大價值。

有沒有發現它們事實上是乙個句式。ok，讓我們形式化地表示一下它們，定義d(i,j)為前i個寶石裝到剩餘體積為j的揹包裡能達到的最大價值。那麼上面兩句話即為：d(2, 7)和d(3, 10)。這樣看著真是爽多了，而這兩個看著非常爽的符號就是我們要找的狀態了。即狀態d(i,j)表示前i個寶石裝到剩餘體積為j的揹包裡能達到的最大價值。上面那麼多的文字，用一句話概括就是：依據子問題定義狀態。你找到子問題。狀態也就浮出水面了。而我們終於要求解的最大價值即為d(n, c)：前n個寶石（0,1,2…,n-1）裝入剩餘容量為c的揹包中的最大價值。狀態好不easy找到了。狀態轉移方程呢？顧名思義，狀態轉移方程就是描寫敘述狀態是怎麼轉移的方程（好廢話！

）。那麼回到樣例。d(2, 7)和d(3, 10)是怎麼轉移的？來，我們來說說2號寶石（記住寶石編號是從0開始的）。從d(2, 7)到d(3, 10)就隔了這個2號寶石。它有兩種情況，裝或者不裝入揹包。假設裝入，在面對前2個寶石時，揹包就僅僅剩**積7來裝它們，而對應的要加上2號寶石的價值12， d(3, 10)=d(2, 10-3)+12=d(2, 7)+12。假設不裝入，體積仍為10。價值自然不變了， d(3, 10)=d(2, 10)。記住。d(3, 10)表示的是前3個寶石裝入到剩餘體積為10 的揹包裡能達到的最大價值。既然是最大價值，就有d(3, 10)=max。

好了，這條方程描寫敘述了狀態d(i, j)的一些關係。沒錯，它就是狀態轉移方程了。把它形式化一下：d(i, j)=max。注意討論前i個寶石裝入揹包的時候，事實上是在考查第i-1個寶石裝不裝入揹包（由於寶石是從0開始編號的）。至此。狀態和狀態轉移方程都已經有了。

//volume寶石體積陣列，worthness寶石價值陣列，n寶石種類個數。c揹包體積

//狀態d(i,j)表示前i個寶石裝到剩餘體積為j的揹包裡能達到的最大價值

int knapsack(int volume,int worthness,int n,int c)

for (int j=0;j<=c;j++)

else

if (i>0&&j>=volume[i-1])}}

} int *uesd=new int[n];//標記是否拾起

for (int i=0;i0; --i)

} for(int i=0; i

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