[update 3.29.2017]
2月10日初學，記得那時好像是正月十五放假那一天
當時寫了手寫版的筆記
過去近50天差不多忘光了，於是複習一下，具體請看手寫版筆記
參考文獻：picks
miskcoo
menci
阮一峰
\(i\)，表示逆時針旋轉90度
\(a+bi\)，對應復平面上的向量
複數加法同向量
複數乘法「模長相乘，幅角相加」，\((a+bi)*(c+di)=ac-bd+adi+bci\)
共軛複數實部相等，虛部互為相反數. 單位根的倒數等於共軛複數
尤拉公式\(e^=cos(u)+isin(u)\)
n次單位複數根：滿足\(\omega^n=1\)的複數\(\omega, \omega_n^k = e^k}\)
主n次單位根\(\omega_n = e^}\)
消去引理，折半引理，求和引理
\(n\)個\(n\)次單位複數根在乘法意義下形成乙個群，與\((z_n,+)\)有相同的結構，因為\(w(n,0)=w(n,n)=1\ \rightarrow\ w(n,j)*w(n,k)=w(n,(j+k) mod n)\)
對於多項式\(a(x)=\sum\limits_^a_jx^j\)，代入n次單位複數根所得到的列向量就是a的離散傅利葉變換
\(o(nlogn)\)計算離散傅利葉變換
使用分治的思想，按下標奇偶分類，\(a_0(x)\)是偶數項，\(a_1(x)\)是奇數項，則\(a(x)=a_0(x^2)+xa_1(x^2)\)，根據折半引理僅有\(\frac\)次單位複數根組成
\(k < \frac,\)
\[ a(\omega_n^k)=a_0(\omega_\frac^k)+\omega_n^ka_1(\omega_\frac^k)\\ a(\omega_n^})=a_0(\omega_\frac^k)-\omega_n^ka_1(\omega_\frac^k) \]
在單位複數根處插值
矩陣證明略
用\(\omega_n^\)代替\(\omega_n\)，計算結果每個元素除以\(n\)即可
\(\omega\)可以預處理也可以遞推，預處理精度更高
遞迴結束時每個元素所在的位置就是「二進位制翻轉」的位置，可以非遞迴的實現fft
加倍次數界，兩個次數界為n的多項式相乘，次數界為2n-1，加倍到第乙個大於等於的2的冪
注意:我傳入的引數是次數界n，最高次數n-1，陣列中用0到n-1表示
取整用floor向下取整，型別轉換是向0取整
子群：\(群(s,\oplus),\ (s',\oplus),\ 滿足s' \subset s，則(s',\oplus)是(s,\oplus)的子群\)
拉格朗日定理:
\(|s'| \mid |s|\)
證明需要用到陪集，得到陪集大小等於子群大小，每個陪集要麼不想交要麼相等，所有陪集的並是集合s，那麼顯然成立。
生成子群
\(a \in s\)的生成子群\(=\:\ k\ge 1\}\)，\(a\)是\(\)的生成元
階：群\(s\)中\(a\)的階是滿足\(a^r=e\)的最小的r,符號\(ord(a)\)
\(ord(a)=||\)，顯然成立
考慮群\(z_n^*=\,\ |z_n^*| = \phi(n)\)
階就是滿足\(a^ \equiv 1 \pmod n\)的最小的\(r,\ ord(a)=r\)
\(g滿足ord_n(g)=|z_n^*|=\phi(n)\)，對於質數\(p\)，也就是說\(g^i \mod p, 0\le i 結果互不相同
模n有原根的充要條件\(n=2,4,p^e,2p^e\)
離散對數
\(g^t \equiv a \pmod n,\ ind_(a)=t\)
因為g是原根，所以\(g^t\)每\(\phi(n)\)是乙個週期，可以取到\(|z_n^*|\)的所有元素
對於n是質數時，就是得到\([1,n-1]\)的所有數，就是\([0,n-2]\)到\([1,n-1]\)的對映
離散對數滿足對數的相關性質，如\(ind(ab)\equiv ind(a)+ind(b) \pmod \)
求原根可以證明滿足\(g^ \equiv 1 \pmod p\)的最小的r一定是\(p-1\)的約數
對於質數\(p\)，質因子分解\(p-1\)，若\(g^} \neq 1 \pmod p\)恆成立，g為p的原根
對於質數\(p=qn+1,\ n=2^m\)，原根\(g\)，則\(g^ \equiv 1 \pmod p\)
將\(g_n=g^ \pmod p\)看做\(w_n\)的等價，滿足\(w_n\)類似的性質，如：
這裡的n(用n表示吧)可以比原來那個的n(乘法結果的長度擴充套件到2的冪次後的n)大，只要把\(\frac\)看做q就行了
常見的\(p=1004535809=479 \cdot 2^ + 1,\ g=3,\quad p=998244353= 2 * 17 * 2^ + 1,\ g=3 \)
\(g^\)就是\(e^\)的等價，迭代到長度\(l\)時，\(g_l=g^}\)
或者\(w_n=g_l=g_n^}=g^}\)
***這裡放乙個大整數相乘的模板
//fft
#include #include #include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
const int n=(1<<18)+5, inf=1e9;
const double pi=acos(-1);
inline int read()
while(c>='0'&&c<='9')
return x*f;
}struct meow
};meow operator +(meow a, meow b)
meow operator -(meow a, meow b)
meow operator *(meow a, meow b)
meow conj(meow a)
typedef meow cd;
struct fastfouriertransform
//ntt
#include #include #include #include #include using namespace std;
typedef long long ll;
const int n=(1<<18)+5, inf=1e9;
const double pi=acos(-1);
inline int read()
while(c>='0'&&c<='9')
return x*f;
}ll p=1004535809;
ll pow(ll a, ll b,ll p)
struct numbertheoretictransform
void dft(ll *a, int flag)
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