Lintcode 010 最長上公升子串行）

給定乙個整數序列，找到最長上公升子串行（lis），返回lis的長度。lis(longestincreasingsubsequence)

說明：

最長上公升子串行的定義：

最長上公升子串行問題是在乙個無序的給定序列中找到乙個盡可能長的由低到高排列的子串行，這種子串行不一定是連續的或者唯一的。

最長上公升子串行問題，也就是longest increasing subsequence，縮寫為lis。是指在乙個序列中求長度最長的乙個上公升子串行的問題，是動態規劃中乙個相當經典問題。在這裡我們可以看到，這個上公升實質上就是乙個對<進行定義的過程，所以我們求解的其實是一類問題，也就是在給定序列中求解長度最長的符合某一性質的子串行的問題。

樣例給出[5,4,1,2,3]，lis 是[1,2,3]，返回3

給出[4,2,4,5,3,7]，lis 是[2,4,5,7]，返回4

挑戰

要求時間複雜度為o(n^2) 或者 o(nlogn)

標籤

二分法動態規劃

解題，分析：

如果能求解出最長上公升子串行，那麼再返回它的長度就可以了。

想法１：可以先對所有數字大小排序，第一次先找到最小的數以及它所在的位置，然後從這個為止向後尋找，如果後面的數字，大於它，則num+1，直到結束；

然後對第二小的數字，在再次執行上面的操作，如果統計出num小於第一次的那麼就保持第一次的不變，如果大於就替換成第二次的數。

.........

直到結束。　　這樣複雜度太高了＝＝！

想法２：動態規劃求解。（重點掌握）

思想：每次求以第i個數為終點的最長上公升子串行的長度，檢視以第j個數為終點的最長上公升子串行。

dp[i]表示以i結尾的子串行中lis的長度。然後我用dp[j](0<=ja[j]的時候，我們需要進行判斷，是否將a[i]加入到dp[j]當中。為了保證我們每次加入都是得到乙個最優的lis，有兩點需要注意：第一，每一次，a[i]都應當加入最大的那個dp[j]，保證區域性性質最優，也就是我們需要找到max(dp[j](0<=j如果寫成遞推公式，我們可以得到dp[i]=max(dp[j](0<=ja[j]?1:0)。

於是我們就能夠得到o(n^2)的動態規劃方法。

class
solution 
}dp[i]=max+1
; }
max=0
; 
for(int i=0;i)
}return
max;
}};

上面的方法，我們花費了很多時間在尋找最大的dp[j]上。如果有辦法讓這個dp[j]變成乙個遞增的序列，我們就能使用二分來進行優化，從而使得複雜度下降為o(nlogn)了。

方法３：排序+lcs演算法（也不錯，學以致用）

方法４：動態規劃＋二分法（效率最高）

**：

假設存在乙個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的lis長度為5。

下面一步一步試著找出它。

我們定義乙個序列b，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。

此外，我們用乙個變數len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到b裡，令b[1] = 2，就是說當只有1乙個數字2的時候，長度為1的lis的最小末尾是2。這時len=1

然後，把d[2]有序地放到b裡，令b[1] = 1，就是說長度為1的lis的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>b[1]，所以令b[1+1]=b[2]=d[3]=5，就是說長度為2的lis的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候b[1..2] = 1, 5，len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的lis最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的lis最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候b[1..2] = 1, 3，len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為b[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知b[3] = 6, 這時b[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到b[3] = 4。b[1..3] = 1, 3, 4， len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是b[4] = 8。len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到b[5] = 9，嗯。len繼續增大，到5了。

最後乙個, d[9] = 7，它在b[3] = 4和b[4] = 8之間，所以我們知道，最新的b[4] =7，b[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，len = 5。

於是我們知道了lis的長度為5。

!!!!! 注意。這個1,3,4,7,9不是lis，它只是儲存的對應長度lis的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以乙個乙個地插入資料。雖然最後乙個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出lis的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在b中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每乙個數字的插入時間優化到o(logn)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了o(nlogn)～！

**：

//在非遞減序列 arr[s..e]（閉區間）上二分查詢第乙個大於等於key的位置，如果都小於key，就返回e+1
int upper_bound(int arr, int s, int e, int key)
return s;
}int lis(int d, int n)
return len;
}

另一種實現**：

class
solution 
memset(dp,
0,sizeof(int)*n);
int len=1
; dp[
0]=nums[0
]; 
for(int i=1;i)
return
len;
}};

在第二種方法中，我們花費了很多時間在尋找最大的dp[j]上。如果有辦法讓這個dp[j]變成乙個遞增的序列，我們就能使用二分來進行優化，從而使得複雜度下降為o(nlogn)了。

幸運的是，這種方法確實是存在的。我們可以使用dp[i]來儲存在前i個數中最大的那個數，很容易可以理解，這個dp[i]已經是單調不減的。接下來的處理其實有些貪心的思想，對於每乙個a[i]，我們都在dp陣列中尋找比它大的第乙個數的下標，不妨設為pos，然後用a[i]來更新dp[pos]。於是我們可以明白，len就應當是max(len, pos+1)。

在這裡我們使用lower_bound函式，這個函式將會返回小於等於val的第乙個值的指標，如果不存在就返回end指標。

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