揹包的基本模型：
給你乙個容量為v的揹包和若干種物品，在一定的限制條件下（每種物品都占用一定容量），問最多能放進多少價值的物品？
題意：有n個重量和價值分別為wi,vi,從這些物品中挑選總重量不超過w的物品，使其價值最大，輸出價值最大值（其中每個物品最多只能放一件）；
這題其實用dfs也可以做，但超時
①、確認子問題和狀態
01揹包問題需要求解的就是，為了重量為w的揹包中物體總價值最大化，n件物品中第i件應該放入揹包中嗎？（其中每個物品最多只能放一件）；
為此，我們定義乙個二維陣列，其中每個元素代表乙個狀態，即前i個物體中若干個放入重量為w揹包中最大價值。陣列為：dp[n][v]，其中dp[i][j]表示前i件中若干個物品放入體積為j的揹包中的最大價值。
②、初始狀態
dp[i][j] = 0;
轉移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);也就是兩種狀態，第i個物品放還是不放(也就是前i件中是否加入第i件產品進入體積為j的揹包)，放則為：dp[i-1][j-w[i]]+v[i]
不放則為：dp[i-1][j]
#includeusing namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int dp[maxn][maxn] = ;
int w[maxn];
int v[maxn];
/*因為我需要從上層推下層，如果dp陣列下標從0開始會比較麻煩點，所以這裡我從1開始
*/int main()
for(int i = 1;i <= n;++i)
else
dp[i][j] = dp[i-1][j];}}
/*這裡我覺得會給大家乙個錯覺，認為dp[n][v]就是最大，其實我們應該遍歷dp[n][i]得到最大
再輸出。這裡為何會直接輸出dp[n][v],試想dp[i][j]與dp[i][j-1]相比，如果j-1可以放入第i件
，那麼j必定可以，所以這裡其實已經保持最大了，所以只需要輸出dp[n][v]
當w = 12，n = 5,
v[6] = ; //價值
w[6] = ; //重量
此題空間可以優化：大家看看這張表，再看看轉移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);我們可以用滾動陣列，因為前i件只取決前i-1件的狀態（不取決i-2,i-3之類的），也就無需儲存所有的狀態，只需儲存當前狀態的上一層狀態，這裡注意此時w需要從大到小來遍歷，為什麼呢？請看
優化後的轉移方程：dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
未優化後的轉移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
當w從小到大來，dp[j-w[i]]取到的已不是前i-1的狀態而是前i的狀態，你可以想想，j從小到大變化是不是把dp[j]給修改，而這裡修改是在前i的狀態下，當dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])中dp[j-w[i]]取到的j是已被修改的，相當於二維中的dp[i][j-w[i]]而不是dp[i-1][j-w[i]]
#include#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;
int dp[1005];
int main()
} printf("%d\n",dp[w]);
return 0;
}
n件物品，容量位w的揹包。第i件物品的重量為wi，價值為vi,每件物品有無數個，求裝的最大價值
同樣，定義乙個二維陣列dp[i][j],表示取前i件中的若干件，在容量為j的揹包中的最大價值
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]); (0<=k<=w/wi),這裡k是從0開始
顯然時間複雜度比較大，所以需要優化，推導如下：
1.dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]]); k>=0
2.dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]); k>=1
3.dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]-k*w[i]]); k>=0
將1和3
1.dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]]); k>=0
3.dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]-k*w[i]]); k>=0
dp[i-1][j-w[i]-k*w[i]]和dp[i-1][j-k*w[i]]等價，所以把j-w[i]當成j,所以1.dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]])就變成dp[i][j-w[i]] = max(dp[i-1][j-k*w[i]])，而dp[i-1][j-k*w[i]]可以代替2中的dp[i-1][j-k*w[i]],2轉化為dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]])
可能大家被上面的轉換轉暈了，沒事大家可以看我在時間優化裡寫的注釋，相信大家絕對看的懂。
此時還可以優化空間，也是用滾動陣列了，只不過此時j不必4從大到小了，因為max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]])，這裡是前i種狀態
#include #include #include #include using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int dp[maxn][maxn]=;
int main()}}
printf("%d\n",dp[n][w]);
return 0;
}
#include #include #include #include using namespace std;
int main()
; int w[105];
int v[105];
int w;
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;++i)
scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
scanf("%d",&w);
/*f[i,j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w]+v,f[i-1][j-2w]+2v,f[i-1][j-3w]+3v,......)
f[i,j-v] = max( f[i-1][j-w], f[i-1][j-2w]+v ,f[i-1][j-3w]+2v,......)
可以發現f[i-1][j-w]+v,f[i-1][j-2w]+2v,f[i-1][j-3w]+3v,......這一堆等價於f[i,j-w]+v
所以f[i,j]=max(f[i-1][j],f[i,j-w]+v);所以我們可以把k去掉
*/ for(int i = 1;i <= n;++i)
}printf("%d\n",dp[w]);
return 0;
}
#include #include #include #include using namespace std;
int main()
; int w[105];
int v[105];
int w;
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;++i)
scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
scanf("%d",&w);
for(int i = 1;i <= n;++i)
}printf("%d\n",dp[w]);
return 0;
}
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