最短路徑 Dijkstra演算法與Floyd演算法

最短路徑-dijkstra演算法與floyd演算法

原文：一、最短路徑

①在非網圖中，最短路徑是指兩頂點之間經歷的邊數最少的路徑。

②在網圖中，最短路徑是指兩頂點之間經歷的邊上權值之和最短的路徑。

③單源點最短路徑問題

問題描述：給定帶權有向圖g＝(v, e)和源點v∈v，求從v到g中其餘各頂點的最短路徑。

應用例項——計算機網路傳輸的問題：怎樣找到一種最經濟的方式，從一台計算機向網上所有其它計算機傳送一條訊息。

④每一對頂點之間的最短路徑

問題描述：給定帶權有向圖g＝(v, e)，對任意頂點vi,vj∈v（i≠j），求頂點vi到頂點vj的最短路徑。

解決辦法1：每次以乙個頂點為源點，呼叫dijkstra演算法n次。顯然，時間複雜度為o(n3)。解決辦法2：弗洛伊德提出的求每一對頂點之間的最短路徑演算法——floyd演算法，其時間複雜度也是o(n3)，但形式上要簡單些。

二、dijkstra演算法

①基本思想：設定乙個集合s存放已經找到最短路徑的頂點，s的初始狀態只包含源點v，對vi∈v-s，假設從源點v到vi的有向邊為最短路徑。以後每求得一條最短路徑v, …, vk，就將vk加入集合s中，並將路徑v, …, vk , vi與原來的假設相比較，取路徑長度較小者為最短路徑。重複上述過程，直到集合v中全部頂點加入到集合s中。

②設計資料結構 :

1、圖的儲存結構：帶權的鄰接矩陣儲存結構。

2、陣列dist[n]：每個分量dist[i]表示當前所找到的從始點v到終點vi的最短路徑的長度。初態為：若從v到vi有弧，則dist[i]為弧上權值；否則置dist[i]為∞。

3、陣列path[n]：path[i]是乙個字串，表示當前所找到的從始點v到終點vi的最短路徑。初態為：若從v到vi有弧，則path[i]為vvi；否則置path[i]空串。

4、陣列s[n]：存放源點和已經生成的終點，其初態為只有乙個源點v。

③dijkstra演算法——偽**

1 1. 初始化陣列dist、path和s；
2 2. while (s中的元素個數④c++**實現
1 #include2 #include3 #include4 using namespace std;
5 #define maxsize 10
6 #define maxcost 10000
7 // 圖的結構
8 template9 struct graph
10 ;
15 // 最短路徑dijkstra演算法
16 void dijkstra(graphg,int v)
17 32 s[0] = v; // 初始化s
33 final[v] = true;
34 int num = 1;
35 while (num < g.vertexnum)
36 
47 }
48 cout << dist[k]
55 
59 }
60 }
61 }
62 int main()
63 ;
67 /*int length = sizeof(temp) / sizeof(temp[0]);
68 g.vertexnum = length;
69 g.arcnum = 7;*/
70 ifstream in("input.txt");
71 in >> g.vertexnum >> g.arcnum;
72 // 初始化圖的頂點資訊
73 for (int i = 0; i < g.vertexnum; i++)
74 
77 //初始化圖g的邊權值
78 for (int i =0; i > m >> n >> cost;
89 g.arc[m][n] = cost;
90 }
91 dijkstra(g, 0);
92 system("pause");
93 return 0;
94 }

// input.txt 1 5 7 2 0 1 10 3 0 3 30 4 0 4 100 5 1 2 50 6 2 4 10 7 3 2 20 8 3 4 60

三、floyd演算法①基本思想：對於從vi到vj的弧，進行n次試探：首先考慮路徑vi,v0,vj是否存在，如果存在，則比較vi,vj和vi,v0,vj的路徑長度，取較短者為從vi到vj的中間頂點的序號不大於0的最短路徑。在路徑上再增加乙個頂點v1，依此類推，在經過n次比較後，最後求得的必是從頂點vi到頂點vj的最短路徑。

②設計資料結構

1、圖的儲存結構：帶權的鄰接矩陣儲存結構。

2、陣列dist[n][n]：存放在迭代過程中求得的最短路徑長度。迭代公式：

3、陣列path[n][n]：存放從vi到vj的最短路徑，初始為path[i][j]="vivj"。

③c++**實現

1 #include2 #include3 #include4 using  namespace std;
5 #define maxsize 10
6 #define maxcost 10000
7 int dist[maxsize][maxsize];// 存放在迭代過程中求得的最短路徑
8 string path[maxsize][maxsize];// vi到vj的最短路徑
9 // 圖的結構
10 template11 struct graph
12 ;
17 void floyd(graphg)
18 ; 
47 // 初始化圖的頂點資訊
48 for (int i = 0; i < g.vertexnum; i++)
49 
52 //初始化圖g
53 for (i = 0; i < g.vertexnum; i++)
54 
59 }
60 //構建圖g
61 for (int k = 0; k > i >> j >> cost;
64 g.arc[i][j] = cost;
65 }
66 floyd(g);
67 for (i = 0; i < g.vertexnum; i++)
68 
76 }
77 }
78 system("pause");
79 return 0;
80 }

// input.txt 3 50 1 4 1 0 6 0 2 11 2 0 3 1 2 2

最短路徑 Dijkstra演算法與Floyd演算法

Dijkstra最短路徑演算法

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