濾波問題中的關鍵是低通濾波器的構建。帶通濾波器可視為兩個不同低通濾波器的差。
理想低通濾波器是shannon函式，但是其在時域中的衰減速度為o(1/t), 實用起來不是很方便，尤其是在對於較短時間序列進行濾波的時候。本部落格提供一種在時域中的衰減速度為o(1/t2)的近理想低通濾波器，期待該濾波器能夠在較短時間序列濾波中發揮作用。
理想的低通濾波器是shannon函式sv(t)，即
svarpi(t)=fracsinvarpitpitsvarpi(t)=fracsinvarpitpit (1)
其中v>0是一常數，代表截止頻率。該濾波器的傅利葉變換即頻域響應是乙個矩形，即
_varpi }(omega ) = left} & \ 0 & \ end} right._varpi }(omega ) = left} & \ 0 & \ end} right. (2)
其中^是傅利葉變換運算元。因此sv(t)是個理想低通濾波器。但是，由(1)可知，sv(t)在時域中的衰減速度為o(1/t), 有些慢。也就是是說，在實際低通濾波應用中，sv(t)的截斷是個問題。截斷後的sv(t)如果太短會引入濾波誤差，截斷後的sv(t)如果太長則會引入較長的邊緣效應。
下面看乙個近理想的低通濾波器lv(t)，
lvarpi(t)=fracsinatatsvarpi(t)=fracsinatsinvarpitpiat2lvarpi(t)=fracsinatatsvarpi(t)=fracsinatsinvarpitpiat2 (3)
其中a>0是乙個相對於截止頻率v較小的常數頻率, 即a/v<1。該濾波器的傅利葉變換(即頻域響應)是乙個梯形，即
_varpi }(omega ) = left} & \ }(omega + varpi + a),} & \ }(omega - varpi - a),} & \ & \ end} right._varpi }(omega ) = left} & \ }(omega + varpi + a),} & \ }(omega - varpi - a),} & \ & \ end} right. (4)
當a/v<<1時，濾波器lv(t)就是乙個近乎理想的低通濾波器了。
由(3)可以看出，低通濾波器lv(t)在時域中的衰減速度為o(1/t2)，要比sv(t)衰減得快。也就是說lv(t)在濾波應用時更容易被截斷。當然，這一高速衰減是建立在lv(t)在頻域中是個近乎矩形的梯形的讓步基礎之上的。在濾波實際應用中，這種讓步是被允許的。
但願大家會喜歡近理想的低通濾波器lv(t)。
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