如果線性方程組有解(齊次的存在非零解),則解的結構總結如下：
齊次方程組：使用消元法後，分別對每乙個自由變數對應的未知數取1，其他自由變數取對應的未知數0，可以獲得齊次方程組的線性無關的特解，構成齊次方程組的基礎解系。齊次方程組解的線性組合仍然是齊次方程組的解。
非齊次方程組：使用消元法後，令所有的自由變數對應的未知數取0，求解主元變數對應的未知數的值，可以獲得乙個特解。非齊次方程組的通解是特解加上齊次方程組的線性組合。
齊次線性方程組：
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,
…as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
首先需要說明的是齊次線性方程組的解只有兩種情況，只有零解和有非零解。不存在沒有解的情況。
有非零解的充分必要條件是: 它的係數矩陣的秩 r 小於未知量個數 n .矩陣中的最大的不相關的向量的個數，就叫秩。
上面的有非零解的條件有很多等價的條件：
係數矩陣a是非奇異矩陣。有關奇異矩陣的內容參考部落格奇異矩陣與非奇異矩陣。
使用消元法之後主元的數目小於未知數的數目。
非齊次線性方程組：
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n x n = 0 ,
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n x n = 0 ,
…as1 x1 + as2 x2 + … + asn x n = 0
非齊次線性方程組解的情況有三種：無解，唯一解和無窮多解。
有解的充分必要條件是 : 它的係數矩陣與增廣矩陣有相同的秩 .這有解包含了有無窮多解和唯一解。
如果係數矩陣與增廣矩陣的值相同且等於未知量的個數n則存在唯一解。
如果係數矩陣與增廣矩陣的值相同且小於未知量的個數n則存在無窮多解。
說明幾點可以方便我們理解上面解的情況：
非齊次線性方程組的形式為：
a x=
bax=b
ax=b
上面式子的意思是求係數x，使得a的各列按照係數線性組合獲得b。
係數矩陣與增廣矩陣有相同的秩說明b與a的各列線性相關，b可以由a的各列線性表示，所以存在存在解。
係數矩陣與增廣矩陣的秩不同說明b與a的各列線性無關，b不可以由a的各列線性表示，所以不存在存在解。
如果係數矩陣與增廣矩陣的值相同且等於未知量的個數n說明a是滿秩的（列滿秩），a的所有的列線性無關，就是不存在自由變數，b可以由a的各列按照唯一的係數表示，所有存在唯一解。
如果係數矩陣與增廣矩陣的值相同且小於未知量的個數n說明a不是滿秩的，就是a的有些列可以用其他列線性表示，就是存在自由變數，自由變數的取值是任意的，所以存在無窮多解。
【數學基礎】線性方程組解情況整理
第四節 線性方程組解的結構
線性方程組 解的判別 與解的結構
MATLAB解線性方程組
rref 函式 把矩陣換為行最簡形 可以用來解線性方程組，求矩陣的秩，求矩陣行最簡形 每行首元所在的列只有它乙個是1 首元所在的列數。例如 我們知道乙個方程組 a x b 中 a 係數矩陣 和b列向量 a 2 2 2 6 2 1 2 4 3 1 4 4 1 1 1 3 b 16 10 11 12 u...
Eigen解線性方程組
一.矩陣分解 矩陣分解 decomposition,factorization 是將矩陣拆解為數個矩陣的乘積，可分為三角分解 滿秩分解 qr分解 jordan分解和svd 奇異值 分解等，常見的有三種 1 三角分解法 triangular factorization 2 qr 分解法 qr fact...
線性方程組
給出乙個線性方程組的標準形式 a11x1 a12x 2 a1nx na21x 1 a22 x2 a2n xnan 1x1 an2x 2 annx n b1 b2 bn 1x 2y 34x 5y 6 1 2 這裡由克萊姆法則進行計算得出xy 3625 14 25 3 5 2 61 5 2 4 3 3 ...