最近在刷力扣上的題目，刷到了65不同路徑，當初上大學的時候，曾在hihocoder上刷到過這道題目，但是現在已經幾乎全忘光了，大概的知識點是動態規劃，如今就讓我們一起來回顧一下。
題目原文是：
乙個機械人位於乙個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為「start」 ）。機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為「finish」）。
問總共有多少條不同的路徑？
我們先按照正常思路來想一下，當你處於起點時，你有兩個選擇，向右或者向下，除非你處於最下面一排或者最右邊一列，那你只有一種選擇（比如處於最下面一排，你只能往右），其他位置，你都有兩種選擇。
因此，我們就根據這個思路，可以寫出**：
我們考慮一下，這種寫法，有沒有可以優化的地方。class solution// 當前處於(1,1)，終點為(m,n)
return walk(1, 1, m, n);
}public int walk(int x, int y, int m, int n)
// 處於最下面一排或者最右邊一列
if (x >= m || y >= n)
// 往下走，有多少種走法
int down = walk(x, y + 1, m, n);
// 往右走，有多少種走法
int right = walk(x + 1, y, m, n);
// 從當前(x,y)出發，走到(m,n)，共有多少種走法
return down + right;}}
你們應該一眼就發現，
walk方法的第乙個判斷if (x >= m && y >= n)，永遠都不可能為true，因為下乙個判斷if (x >= m || y >= n)就已經是臨界點情況，直接就已經有返回值，根本不可能達到x >= m && y >= n的情況。因此，該判斷可以刪除。假設我們從(1,1)的位置出發，終點是(3,3)，那麼到達(2,2)這個中間點的話有幾種走法呢？兩種，先到(1,2)再到(2,2)，或者，先到(2,1)再到(2,2)。
因此，如果根據我們上面的寫法，從(2,2)到終點(3,3)，我們會算兩次，雖然這樣的思路本身是正確，但這樣的情況應該是可以優化的。因為從(1,1)到(3,3)，一共只有6種路徑，但已經有2條是重複的路徑了，那麼隨著
m與n越來越大，中間點會越來越多，那麼重複的路徑也會越來越多。這就是
前面的選擇對於後面的選擇會有影響，即使後面的選擇相同，但由於前面的選擇不同，從而也被認為是不同的選擇。很明顯，
後面的選擇更加唯一，如果我們先在後面做出選擇，那麼就可以減少重複計算的次數。因此，我們可以試試反向思路。如果我們不是從起點出發，而是從終點倒退到起點開始算的話。假設終點是(3,3)，它只能由(2,3)和(3,2)直接到達，(2,3)也只能由(2,2)和(1,3)直接到達，(1,3)只能由(1,2)直接到達，(1,2)只能由(1,1)直接到達，因此(1,3)只能由(1,1)直達。
我們可以得出規律：除了最左邊一列和最上面一排的點，只能由起點(1,1)直達以外，其他的點(x,y)都是由(x-1,y)和(x,y-1)兩個點直接到達的。
因此，根據這個思路，我們可以寫出**：
其實這樣的想法就已經是class solution else }}return result[m - 1][n - 1];}}
動態規劃的範疇了，我們看看維基上的定義動態規劃（英語：dynamic programming，簡稱dp）是一種在數學、管理科學、電腦科學、經濟學和生物資訊學中使用的，通過把原問題分解為相對簡單的子問題的方式求解複雜問題的方法。一開始我感覺很像分治法，因為都需要將乙個大問題分解為子問題，但分治法最終會將子問題合併，但動態規劃卻不用。我們考慮一下，這種寫法，有沒有可以優化的地方。
首先是空間上的優化，我們一定要用二維陣列嗎？可以用一維陣列代替嗎？
答案是肯定的，因為每個點的計算只和左邊與上邊相鄰的點有關，因此，不需要更加久遠的點。
一維陣列
這樣的優化，差不多就結束了。那我們是否可以從思路上進行優化呢？class solutionelse }}
return dp[m-1];}}
因為我們只有向右或向下兩種選擇，而我們一共要走的路徑其實是
(m-n-2)，其中有(m-1)的路徑是向右，(n-1)的路徑是向下，其實可以轉變為：從那麼我們可以寫出**：(m-n-2)中挑出(m-1)，即組合數c((m-n-2), (m-1))的值##總結class solutionreturn (int)(num / denom);}}
力扣62 不同路徑
乙個機械人位於乙個 m x n 網格的左上角 起始點在下圖中標記為 start 機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角 在下圖中標記為 finish 問總共有多少條不同的路徑？示例 1 輸入 m 3,n 7 輸出 28 示例 2 輸入 m 3,n 2 輸出 3 解釋 從左上角...
力扣 62 不同路徑
題目 乙個機械人位於乙個 m x n 網格的左上角 起始點在下圖中標記為 start 機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角 在下圖中標記為 finish 問總共有多少條不同的路徑？示例 1 輸入 m 3,n 7 輸出 28 題解 這是個楊輝三角形，每個位置的路徑 該位置左邊...
力扣 62 不同路徑
乙個機械人位於乙個 m x n 網格的左上角 起始點在下圖中標記為 start 機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角 在下圖中標記為 finish 問總共有多少條不同的路徑？例如，上圖是乙個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？說明 m 和 n 的值均不超過 100。示例 ...