時間複雜度分析

我們先來看一下下面這段**

但是這段**明顯還有優化的空間，如果我們在陣列中間尋找到x的話，就不需要把整個陣列都迴圈一邊了，所以可以優化為下面這段**。

如果在這種情況下的話，就不能用上一次所說到的方法來衡量了，因為我們不知道需要尋找的x所在的位置在**，如果在第乙個的話，它的時間複雜度就是o(1)，如果這個陣列裡沒有的話，就需要全部遍歷一遍，它的時間複雜度就是o(n)，這裡就需要引入最好時間複雜度和最壞時間複雜度

顧名思義，最好時間複雜度就是在最理想的狀態下的時間複雜度，就是我們前面說的，所需要找的x恰好是陣列的第乙個字元，時間複雜度為o(1)

最壞時間複雜度就是在最糟糕的情況下的時間複雜度，就是前面說的需要尋找的x不在陣列中的情況，時間複雜度就是o(n)

但是問題又來了，不管是最好還是最壞，它們發生的概率都是非常小的，都不能真正代表它的時間複雜度，這裡我們就需要再引入乙個概念：平均時間複雜度

還是前面的例子，我們把x在每乙個位置上所需要便利的個數都加起來然後再處以總次數n 1來求平均，這樣的話我們就能夠得到平均時間複雜度了

這裡提供乙個化簡的思路，使用高中所學的倒序相加法來進行化簡，在化簡得到這個值以後，因為在大o表示法中是可以省略係數、低階和常量的，所以最後得到的平均時間複雜度為o(n)

雖然這樣得到的結論是沒有任何問題的，但是在計算的過程中還是有一些出入的，因為這n 1種情況出現的概率是不一樣的，所以在每乙個數計算的時候還需要乘上相對應的概率才可以，具體的運算情況如下

我們知道，要查詢的變數 x，要麼在陣列裡，要麼就不在陣列裡。這兩種情況對應的概率統計起來很麻煩，為了方便你理解，我們假設在陣列中與不在陣列中的概率都為 1/2。另外，要查詢的資料出現在 0～n-1 這 n 個位置的概率也是一樣的，為 1/n。

所以，根據概率乘法法則，要查詢的資料出現在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。因此，前面的推導過程中存在的最大問題就是，沒有將各種情況發生的概率考慮進去。

如果我們把每種情況發生的概率也考慮進去，那平均時間複雜度的計算過程就變成了這樣：

這個值就是概率論中的加權平均值，也叫作期望值，所以平均時間複雜度的全稱應該叫加權平均時間複雜度或者期望時間複雜度。

引入概率之後，前面那段**的加權平均值為 (3n 1)/4。用大 o 表示法來表示，去掉係數和常量，這段**的加權平均時間複雜度仍然是 o(n)。

均攤時間複雜度就是把耗時多的平均到耗時少的上面，一般都是不會遇到的，而且，在能夠應用均攤時間複雜度分析的場合，一般均攤時間複雜度就等於最好情況時間複雜度，所以就不再過多的提它了，因為連平均時間複雜度的應用條件都是極其苛刻的，均攤時間複雜度就更是極少會碰到了，明白最好時間複雜度和最壞時間複雜度就可以了。

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