動態規劃之數字dp

數字dp,字面意思理解就是在數字的每一位上面去dp，動態規劃一般有兩種：遞推，記憶化搜尋（dfs）。這裡就是用的記憶化。

一般這種用在計數上面，對那些數字上面有限制的計數。

這裡上一道模板題：

題中就是要你統計1—n裡有「49」的個數。

dp[pos][sta]表示到第pos位，狀態為sta的總數。

我們一般是從高位往低位計數。我們這裡的狀態本來可以是10種（0,1，2，。。。9）但是我們可以把他們分為兩種（為4的，不為4的）

如果我們當前位為4，那麼下一位就不能為9.

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define ll long long 
ll dp[20]
[2];
int digit[20]
;//分解x，將各個位賦值給digit陣列
ll solve
(ll x)
//這裡limit為true，是因為我們第一位的前面想象為0，那麼就是有上界了（0為上界）。
return
dfs(pos,false,true);}
//pos表示當前第幾位
//sta表示前一位是否是4
//limit表示是否到達上界 
ll dfs
(int pos,bool sta,bool limit)if(
!limit) dp[pos]
[sta]
=cnt;
return cnt;
}int
main()
}}

為什麼返回值那裡要if(!limit)，我們假設上界是230，求1–230的不含「33」的個數。那麼我們百位訪問0的時候，因為沒有達到上界（2）,所以十位我們可以訪問0-9，當十位訪問3的時候，個位我們可以訪問0,1,2,4（不能有「33」）,所以有4個。但是當我們百位訪問2的時候，到達上界了，就是說十位，個位我們不能取0-9了，十位只能取到3，個位只能取到0。當我們十位取到3的時候，這是如果我們沒有(!limit)，我們前面算到dp[0][1]（當前位為個位，前面一位是3）,我們會直接返回4，但是這裡我們只能訪問0，因為不能超過230。所以得limit。

後面的記憶化也要limit也是這樣。

hdu 4507

題目要求的是與7無關的數的平方和。這個數字dp不是計數的，而是求平方和的。

dp[pos][mod1][mod2]為當前位為pos，各個位數的和模7，數的和模7

首先我們先設定狀態，題目的要求：

1，沒有7，這個直接在迴圈裡面判斷進行了.

2.各位數之和不是7的倍數

3.這個數不是7的倍數。

2.3這兩個得在遞迴裡面去加，然後分情況。

可以對7取模，就有餘數為0，就是7的倍數，不為0，就是可以找的數。

這是條件，接下來看要求的平方和。

我們算乙個數的平方和，比如123,145,134這些都是合法的數，那求平方和就是，(100+23)^2+(100+45) ^2+(100+34) ^2=3100 ^2+2100*(23+45+34)+(23 ^2+45 ^2+34 ^2)；

這樣我們假設我們求到pos為百位1的時候，我們求的平方和就為

從十位開始後面的數（加上百位後的各種條件合法後）的個數乘以

ipower[i]+ 2 * i power[i] * 十位後的數的總和 +十位後數的平方和。

temp為低位，ans為高位。可以看做temp為十位後面的，ans為百位

其實就是：

ans.cnt+=temp.cnt （合法的數）

ans.sum1+=temp.cnt * i * power[pos]+temp.sum1 （各個數的和）

ans.sum2+=i * power[pos] * i * power[pos] * temp.cnt+temp.sum2+2 * i * power[pos] * temp.sum1（各個數平方和）

為什麼要乘以個數，就是為百位1後面有多個合法的數。

其他的都和簡單的數字dp差不多了。

要注意的點

solve(y)可能比solve(x-1)小,所以要+mod後取模，比如(6-3)%5=3

,但是6%5-3%5=-2, (-2+5)%5=3;

#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
struct nodedp[20]
[10][
10];int digit[20]
;ll power[25]
;node dfs
(int pos,
int mod1,
int mod2,bool limit);if
(mod1&&mod2) temp.cnt=1;
return temp;}if
(!limit&&dp[pos]
[mod1]
[mod2]
.cnt!=-1
)return dp[pos]
[mod1]
[mod2]
;int up=limit?digit[pos]:9
; node ans=
;for
(int i=
0;i<=up;i++)if
(!limit) dp[pos]
[mod1]
[mod2]
=ans;
return ans;
}ll solve
(ll x)
return
dfs(pos,0,
0,true)
.sum2%mod;
}int
main()
}}

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