演算法基礎課一複雜度分析

資料結構，是指一組資料的儲存結構，演算法，是指運算元據的一組方法；

資料結構，是為演算法服務的，演算法，作用在特定的資料結構之上；

資料結構和演算法，解決的是如何更省，更快地儲存和處理資料，而考量效率和資源消耗的方法，就是複雜度分析；

假設每行**執行的時間都一樣，為 unit_time，那麼下面**，執行時間 3 + 2n + 2n^2；

int
cal(
int n)
}}

因此**執行時間 t(n) = o ( f ( n ) )，其中 n 表示每行**的執行次數，f ( n ) 表示所有**執行次數的總和，o 表示兩者成正比；

時間複雜度，表示**執行時間，隨資料規模增長的變化趨勢，常量，係數，低階並不能左右趨勢，所以上面例子中的時間複雜度，就是 o ( n^2 )；

所以分析演算法時間複雜度的時候，只需關注迴圈執行次數最多的那一段**，且常量執行時間，無論多大，都不能反映與資料規模相關的增長趨勢，所以可以忽略；

加法法則，總複雜度等於量級最大的那段**的複雜度，乘法法則：巢狀**的複雜度等於巢狀內外**複雜度的乘積；

常見的時間複雜度 o ( log n )，下面的例子，執行 20，21，22 … 2x，2x = n，就執行了 log2 n 次，因為無論 log 的底數是多少，都可以互相轉換，log3 n = log3 2 * log 2 n，所以只要是對數執行次數，那麼時間複雜度都是 o ( log n)；

i=1;
while
(i <= n)

如果我們對 o ( log n ) 的**，執行 n 次，那麼該段**的時間複雜度，就是 o ( n log n)；

空間複雜度，表示演算法的儲存空間，與資料規模之間的增長關係；

下面的例子中，只有第三行，申請儲存空間 n，其他**都佔常數儲存空間，所以空間複雜度是 o ( n )；

void
print
(int n)
for(i = n-
1; i >=0;
--i)
}

常見的空間複雜度 o ( 1 )，o ( n )，o ( n^2 )；

通常使用乙個複雜度，就可以滿足需求，但如果同一塊**在不同的情況下，時間複雜度有量級的差距，就需要使用這三種複雜度，均攤時間複雜度，可以看作平均時間複雜度的一種分析方法；

下面示例中，最好時間複雜度 o ( 1 )，最壞時間複雜度 o ( n )，根據概率論，查詢的 x，出現在集合內的概率是 1 /2 ，迴圈執行 1 次的概率是 1 / 2n，執行 2 次的概率是 1 / 2n，執行 n 次的概率，是 1 / 2n + 1 / 2，所以平均複雜度是 (1 / 2n)* ( 1 + 2 + … + n) + n /2 = (n + 1) / 4 + n /2 = (3n + 1) / 4 ，所以平均複雜度是 o ( n )；

// n表示陣列array的長度
intfind
(int
array,
int n,
int x)
}return pos;
}

下面的示例中，最好時間複雜度 o( 1 )，最壞時間複雜度 o( n )，經過分析，最壞時間複雜度的出現，都是伴隨著 n 次呼叫，出現一次，所以可以將最壞的一次，均攤到之前出現的 n -1 次上，所以均攤時間複雜度，就是 o( 1 )；

// array表示乙個長度為 n 的陣列 
// **中的array.length就等於n 
int[
] array = new int
[n];
int count =0;
void
insert
(int val)
array[0]
= sum; 
count =1;
} 
array[count]
= val;
++count;
}

如果演算法操作中，大部分情況下時間複雜度都很低，只有個別情況下，時間複雜度比較高，而且這些操作之間，存在前後連貫的時序關係，這個時候，就可以考慮將這一組操作，放在一塊兒分析，看是否能將較高時間複雜度的那次操作，平攤到其他那些時間複雜度比較低的操作上；

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