最短路總結1 最短路問題概述與樸素dijkstra

最短路系列鏈結

最短路總結2 堆優化dijkstra

最短路總結3 bellmanford

最短路總結4 spfa及應用

最短路總結5 floyd

1.最短路問題概述

若網路中的每條邊都有乙個數值(長度、成本、時間等)，則找出兩節點(通常是源節點和阱節點)之間總權和最小的路徑就是最短路問題。

最短路問題，其實就是給定乙個網路，給定乙個或一組起點（術語叫源點），對這些源點給定其他點，詢問這些點到源點的最短路徑。

2. 分類

單源是指單一起點到其他點的最短路，多源是指求每組起點到終點的最短路。

堆優化dijkstra是在樸素版基礎上，利用小根堆的自動維持順序的特性優化樸素版中的某一步。

spfa演算法一般不論稠密圖還是稀疏圖，都用鄰接矩陣儲存圖。

spfa演算法本質上是利用寬搜的思想對 bellerman-ford演算法做的優化，因此spfa很強大，在絕大多數情況下可以用spfa演算法代替bellman-ford演算法解決問題，因此重點掌握。（其實也可以代替dijkstra）

spfa演算法的侷限:當圖**現一下兩點之一時spfa演算法失效，只能使用bellman-ford演算法。

（1）限制最短路的路徑經過不超過k條邊

（2）圖中存在負權迴路（回路邊權之和為負數）

spfa演算法可以用來判斷是否存在負環，另：判斷正環用tanjar演算法

3.樸素dijkstra演算法（on^2+m）

初始化各點到源點的距離

迭代n-1次（除源點外有n-1個點）

（1）在最短路未確定的點中，找距離源點最近的點v。（用bool陣列標識該點的最短路是否已經確定）

（2）用v點去更新全圖所有點的當前最短路距離（dist)

（3）若i點滿足：dist[i] > dist[v] + w[v][i]則更新i點的dist值

更新全圖後將該點設定為最短路已經確定

這裡假設找到的v點是2點，用2點去更新全圖，實際上這裡就是更新3點，也就相當於判斷這兩條到路徑誰更短：（1）1->2->3距離為dist[2]+w[2][3](2)1->3距離為dist[3]。推廣到更大更複雜的網路中，也是乙個個類似這樣去比較更新，比較完所有點，則v點不可能再被更新，所以設定v點的最短路已經確定。

4.模板

int g[n]
[n];
// 儲存每條邊
int dist[n]
;// 儲存1號點到每個點的最短距離
bool st[n]
;// 儲存每個點的最短路是否已經確定
// 求1號點到n號點的最短路，如果不存在則返回-1
intdijkstra()
if(dist[n]
==0x3f3f3f3f
)return-1
;return dist[n]
;}

5.板子題

給定乙個n個點m條邊的有向圖，圖中可能存在重邊和自環，所有邊權均為正值。

請你求出1號點到n號點的最短距離，如果無法從1號點走到n號點，則輸出-1。

輸入格式

第一行包含整數n和m。

接下來m行每行包含三個整數x，y，z，表示存在一條從點x到點y的有向邊，邊長為z。

輸出格式

輸出乙個整數，表示1號點到n號點的最短距離。

如果路徑不存在，則輸出-1。

資料範圍

1≤n≤5001≤n≤500,

1≤m≤1051≤m≤105,

圖中涉及邊長均不超過10000。

輸入樣例：

3 31 2 2

2 3 1

1 3 4

輸出樣例：

3

#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n=
550,inf=
0x3f3f3f3f
;int n,m;
int g[n]
[n];
int dist[n]
;bool st[n]
;int
dijkstra()
st[t]=1
;}if(dist[n]
>=
1000000000
)return-1
;else
return dist[n];}
intmain()
}int t=
dijkstra()
; cout<
return0;
}

6.小細節

去重邊：在儲存圖時，取兩點之間多條邊的最短的那條

去自環：在儲存圖時，自己到自己的邊應當去除

無向邊：區別只在於儲存圖的時候，存兩邊，一去一回。

int x,y,z;
cin >> x >> y >> z;
if(x!=y)

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