最短路總結

背景：

只是想來備份一下最近的**，順便總結一下三種最短路演算法的應用。

基礎**：

dijkstra:

1
struct nd};
2int d[maxn]; bool vis[maxn]; priority_queueq;
3void dijkstra(int
s));
5while(!q.empty()));9}
10}11 }

spfa(bfs+slf):

1 ll d[maxn]; bool inq[maxn]; dequeq;
2ll spfa()12}
13}14return
d[n];
15 }

spfa(dfs):

1
bool ins[maxn],f; double
d[maxn];
2void dfs(int
x) d[es[i].t]=d[x]+es[i].w; dfs(es[i].t);8}
9}10 ins[x]=0;11
}12bool
spfa() return1;
15 }

floyd:

1 inc(k,1,n)inc(i,1,n)inc(j,1,n)if(map[i][k]+map[k][j]

比較：dijkstra:

本演算法的優點就是快，沒有什麼一定需要其解決的問題，且只能處理正權邊及求最短路（不能求最長路）。複雜度為o(mlog2n)不過常數會稍大。

spfa：

優點是可以處理負權邊以及判負環，當不用判負環時bfs+slf（雙端佇列優化）的最壞複雜度是o(nm)，但是常數很小，有時快過dijkstra。當需要判負環時bfs+slf複雜度經常會達到最壞複雜度，這時候用dfs寫法會明顯快很多，因為在不連通圖中判負環需要每個點都作為源點跑一次。

floyd：

優點是短，可以用一行求出兩兩點的最短路，複雜度o(n3)且常數很小。

常見模型：

差分約束系統：

n個數，知道他們兩兩之間形如ai-aj≥c，ai-aj≤c的關係，求n個數最小/最大是多少。解法：如果是求最大值，則將所有限制條件轉化為為≤，將得到的i和j連邊，權值為c並跑最短路，因為得到的是滿足條件的最大值；如果是求最小值，則將所有限制條件設定為≥，將得到的i和j連邊，權值為c並跑最長路，因為得到的是滿足條件的最小值。

01分數規劃：

n點m邊有向圖，點有點權，邊有邊權，從某點出發，走一些路使得經過的點權和除以（浮點數除法）邊權和最大或最小，求這個小數（保留兩位）。解法：假設需要所求小數最大，那麼二分這個數，然後將所有邊的邊權改為分母（需要最小化的部分）*二分的數-分子（需要最大化的部分），然後判負環。如果有，說明解合法，否則解不合法。最後把下界輸出。如果需要所求小數最小，則把邊權改為分子（需要最大化的部分）-分母（需要最小化的部分）*二分的數，同時改變範圍縮小的方向。

倍增floyd：

從s到t，要求剛好經過k條邊，求最短路。解法：把用floyd的方式對兩個鄰接矩陣進行合併定義成乙個運算，則答案為初始矩陣與自己做k次運算得到的結果。而該運算符合結合律，故可以用類似矩陣快速冪的方法剛好做log2k次運算。

最短路總結

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