這個其實很早之前就想寫了，只不過一直沒有時間。
之前稍微學了一下，但由於沒有留下深刻的印象，所以學了等於白學。
scoi2018有一道題就是裸的二次剩餘題，比賽時做不出來真是氣炸了。
如果p
pp為奇素數。
n
nn在模p
pp意義下能被開方，就稱n
nn是模p
pp意義下的二次剩餘。
即存在x2≡
n(mo
dp
)x^2\equiv n (mod \ p)
x2≡n(m
odp)(n
p)
=\right)= \begin 1,&n\text\\ -1,&n\text\\ 0,&n\equiv0\pmod p \end
(pn)=
⎩⎪⎨⎪
⎧1,
−1,0
,n在模
p意義下是二次剩餘n在模
p意義下是非二次剩餘n≡
0(mo
dp)
這個東西可以用個很方便的東西求出來：
( np
)≡np
−12(
modp
)\left(\frac\right)\equiv n^} \pmod p
(pn)≡
n2p−
1(m
odp)
證明：如果n
nn是模p
pp意義下的二次剩餘，即存在x2≡
n(mo
dp
)x^2 \equiv n \pmod p
x2≡n(m
odp)
那麼就有np−
12≡x
p−1≡
1(mo
dp
)n^}\equiv x^\equiv 1 \pmod p
n2p−1
≡xp−
1≡1(
modp
) 接下來的問題是如何解這個方程。
可以用bsgs演算法艹過去。
但是這裡有個更加高階的叫cipolla演算法。
n 2≡
(p−n
)2(m
odp)
n^2\equiv (p-n)^2 \pmod p
n2≡(p−
n)2(
modp
)證明略。
p
pp的二次剩餘個數只有p−1
2\frac
2p−1個
考慮假如有兩個不同的數x
xx和y
yy滿足x2≡
y2(m
odp)
x^2\equiv y^2 \pmod p
x2≡y2(
modp
)則p∣(x
+y)(
x−y)
p|(x+y)(x-y)
p∣(x+y
)(x−
y)所以x +y
≡p
x+y\equiv p
x+y≡
p所以說，每個滿足x≡y
(mod
p)
x\equiv y \pmod p
x≡y(mo
dp)的x
xx和y
yy，它們的平方是相同的。
得證。假如要對n
nn開方（保證其為模p
pp意義下的二次剩餘）
隨機乙個a
aa使得a2−
na^2-n
a2−n
是非二次剩餘（期望次數兩次）
令ω 2≡
a2−n
(mod
p)
\omega^2\equiv a^2-n \pmod p
ω2≡a2−
n(mo
dp)計算(a+
ω)p+
12
(a+\omega)^}
(a+ω)2
p+1
作為其中達到乙個解，另乙個解通過定理一求出。
ω
\omega
ω看起來是無解的，但可以像對待虛數的i
ii一樣對待它。
計算的時候把它當負複數計算，算完之後就會驚奇地發現虛數部分消失了。
定理三ωp≡
−ω(m
odp)
\omega^p\equiv -\omega \pmod p
ωp≡−ω(
modp
) 證明：ωp≡
ωp−1
ω≡(a
2−n)
p−12
ω≡−ω
(mod
p)
\omega^p\equiv \omega^\omega \equiv(a^2-n)^}\omega\equiv -\omega \pmod p
ωp≡ωp−
1ω≡(
a2−n
)2p−
1ω≡
−ω(m
odp)
定理四( a+
b)p≡
ap+b
p(mo
dp
)(a+b)^p\equiv a^p+b^p \pmod p
(a+b)p
≡ap+
bp(m
odp)
二項式展開完事。
( (a
+ω)p
+12)
2≡(a
p+ωp
)(a+
ω)≡(
a−ω)
(a+ω
)≡a2
−(a2
−n)≡
n\left((a+\omega)^}\right)^2 \\ \equiv (a^p+\omega^p)(a+\omega) \\ \equiv (a-\omega)(a+\omega) \\ \equiv a^2-(a^2-n) \\ \equiv n
((a+ω)
2p+1
)2≡
(ap+
ωp)(
a+ω)
≡(a−
ω)(a
+ω)≡
a2−(
a2−n
)≡n證畢……
既然它可以推出來，那就可以簡單地認為它虛部在計算的過程中會消去……
二次剩餘小記
看 text 的部落格看到的，發現似乎並沒有想象中的那麼難，就學了一下，過了板題，這裡記錄一下，暫時還是只會二次剩餘，n 次剩餘暫時先放一下。下文的 p 即是模數。我們稱 n 為模 p 意義下的二次剩餘當且僅當存在 x 使得 x 2 equiv n pmod p,x in mathbb 下文的 ma...
二次剩餘小結
對於模數 n 和整數 a 若存在整數 x 滿足 x 2 equiv a mod n 則稱 x 是模 n 意義下的二次剩餘，否則是非二次剩餘 注 這裡討論的 x 滿足 x in 1,n 尤拉判別法 對於奇素數 p a 是模 p 意義下的二次剩餘當且僅當 a equiv 1 mod p 類似的，若 a ...
二次剩餘雜記
參考資料一 參考資料二 對於 x 和 p 如果存在 a in 0,p 滿足 a 2 equiv x pmod p 則稱x為模 p 的二次剩餘。在這裡，我們暫時只討論 p 為奇素數的情況。有乙個性質，二次剩餘與非二次剩餘的個數均為 frac 2 如果 p 的原根為 g 那麼 g 的偶數次冪顯然都是二次...