前置知識
二次剩餘
二次剩餘表示為qr，二次非剩餘表示為nr。
勒讓德符號：$\left ( \frac \right )$=
反證法證明： 根據二次剩餘定義：
二次剩餘是這樣一些數：12，22，32，......,(p-1)2(mod p)
又∵ (p-b)2=p2+2pb+b2≡b2(mod p)
∴12，22，32，......,$\left ( \frac \right )$2與$\left ( \frac \right )$2,$\left ( \frac \right )$2,$\left ( \frac \right )$2,......,(p-1)2（mod p）在數值上相等
設1≤a,b≤$\frac$,且a2≡b2(mod p)，且a≠b
則（a-b)(a+b)≡0(mod p)
但∵2≤a+b≤p-1，2≤a-b≤p-1，a≠b
∴（a-b)(a+b)≡0(mod p)不成立
故12，22，32，......,$\left ( \frac \right )$2（mod p）各不相同
又∵1-p有p-1個數
∴恰有 $\frac$個模p的二次剩餘，且恰有$\frac$個模p的二次非剩餘。
q.e.d.
根據原根定義：g>1
又∵g的偶次冪g2k都可以表示為gk*2
∴g的偶次冪都是平方數且各不相同
又∵個數恰是$\frac$個
∴ g的偶次冪表示出了模p的所有二次剩餘
又∵gk與g2*k對應不同
∴g的奇次冪表示模p的所有的二次非剩餘
q.e.d.
根據定理2可以得出：指標為偶數（mod p)的數是模p的二次剩餘，指標為奇數（mod p)的數是模p的二次非剩餘。
又∵指標的乘法定理
∴qr*qr=qr，nr*qr=nr，nr*nr=nr.
q.e.d.
尤拉準則
分類討論：①若a是模p的二次剩餘
則a的指標是偶數
a≡g2k(mod p)
a（p-1)/2≡gk*(p-1)≡1k≡1(mod p)
②若a是模p的二次非剩餘
則a的指標是奇數
a≡g2k+1(mod p)
a（p-1)/2≡gk*(p-1)+(p-1)/2≡g(p-1)/2(mod p)
∵g是模p的原根
∴g(p-1)/2≡-1（mod p)
q.e.d.
update：勒讓德雙平方數定理
對於給定的正整數n：
設$d_$=（整除n且滿足d≡1（mod 4）正整數d的個數
）
設$d_$=（整除n且滿足d≡3 (mod 4)的正整數d的個數
）
則將n正好表示成兩個平方數（順序不同算兩種）的方案數=4（$d_$-$d_$
）
數論 二次剩餘 尤拉判別準則 高斯引理
定義 n,m n,m 1,m 2，若n是模m的二次剩餘 x 2 n mod m 有解 例 若n 2,m 3，x 2 2 mod 3 無解，則2是模3的二次非剩餘 若n 2,m 7，x 2 2 mod 7 在x 3時成立，有解，故2是模7的二次剩餘 th1 在模p 奇素數 的縮系中，有 p 1 2個二...
二次剩餘小結
對於模數 n 和整數 a 若存在整數 x 滿足 x 2 equiv a mod n 則稱 x 是模 n 意義下的二次剩餘，否則是非二次剩餘 注 這裡討論的 x 滿足 x in 1,n 尤拉判別法 對於奇素數 p a 是模 p 意義下的二次剩餘當且僅當 a equiv 1 mod p 類似的，若 a ...
二次剩餘小記
看 text 的部落格看到的，發現似乎並沒有想象中的那麼難，就學了一下，過了板題，這裡記錄一下，暫時還是只會二次剩餘，n 次剩餘暫時先放一下。下文的 p 即是模數。我們稱 n 為模 p 意義下的二次剩餘當且僅當存在 x 使得 x 2 equiv n pmod p,x in mathbb 下文的 ma...