利用定義證明乙個極限等式成立，首先要知道這個極限等於幾. 有時你不知 道極限等於幾，也可以通過直覺或歸納或其他方法猜出它等於幾，再證明。證明之前，首先要熟諳關於極限的全部定義，前面都有。
接下來說明一下怎麼證明乙個極限等式成立。我以數列極限為例說明一下吧，其實函式極限也類似，精髓都在於：在任取ξ
\xiξ>後，只要找到乙個n或者x或者ξ
\xiξ滿足定義條件，就能說明原極限等式成立。
例一：證明limn
→+
∞\lim_
limn→+
∞(2n2+3)/(n2+2n) =2.
證明：任取ξ
\xiξ>0,要使得|(2n2+3)/(n2+2n) -2|<ξ
\xiξ成立，即|(4n-3)/(n2+2n)|(這裡可以適當放大）<4n/n2=4/n<ξ
\xiξ成立，只需n>4/ξ
\xiξ即可。取n=[4/ξ
\xiξ],則當n>n時，恒有|(2n2+3)/(n2+2n) -2|<4/n<ξ
\xiξ成立，所以原極限limn
→+
∞\lim_
limn→+
∞(2n2+3)/(n2+2n)=2成立。
在以上的解題中，我對|(4n-3)/n2+2n)|放大了一下，這是沒問題的，4n/n2
<ξ
\xiξ都成立了，|(4n-3)/(n2+2n)|<ξ
\xiξ更成立了，而且這便於我們反解出n，事實上，如果不放大，要解出n是十分困難的，但理論上也不是不能解。這也說明了乙個觀點，正整數n是不唯一的，只要找到那麼乙個正整數n即可，不同的人找的可能是不同的，只要邏輯正確即可。
能直接把趨向點代入函式的這種極限最簡單了，代個數就出來了. 什麼樣的極限，可以往裡代？答案是：在那一點處連續的函式的極限，可以代. 因為連續有個定義是「極限等於函式值」，所以連續函式在某點的極限，一 定等於連續函式在該點的函式值. 我們還有乙個結論，初等函式在其定義區間內都是連續的. 所以只要是初等函式（很多分段函式不是初等函式），而且在某點處有定義，那如果想求這點處的極限，直接代就行了. 當我們做題進行到某一步時，如果發現條件滿足，能夠直接代入，那麼就可以直接代入得到答案了，千萬不要繼續求下去了（尤其是洛必達法則的題目，如果繼續求的話，結果一定是錯的）. 這裡不舉例題了吧，畢竟不難. 關於「連續」，還有一件事情應當注意，極限符號與連續函式是可以交換的，如limx
→0f(
sinx
)\lim_f(sinx)
limx→0
f(s
inx)
=f(limx
→0si
nx
\lim_sinx
limx→0
sin
x),其中函式f(u)連續。
這種方法是針對分段函式極限而言的，而且題目一般會讓你求分段函式在分 界點處的極限. 做法就是先求左極限，再求右極限. 如果都存在且相等，那答案 就是這個數了；如果左右極限有至少乙個不存在，或者都存在但不相等，那這個原極限就不存在了. 需要注意的是，求左極限的時候，用的就是小於分界點時的解析式，並想象 x 略小於分界點的情況；求右極限的時候，用的就是大於分界點時的解析式，並想象 x 剛過分界點的情況；跟分界點處的函式值半毛錢關係都沒有. 舉乙個例題：
例二: 已知函式f(x
)=
xsin1/x& \text\\ (a+x^2)& \text \end
f(x)
=f(x)
limx→0
−f(
x).當x略小於0時，用的是f(x)=a+x2這個解析式，它趨近於a。再求右極限limx
→0+f
(x
)\lim_f(x)
limx→0
+f(
x)，當略大於0時，用的是f(x)=xsin1/x這個解析式，無窮小乘以有界函式，趨於0.
為了讓這個極限存在，只需要左右極限相等即可，所以a=0，此時極限limx
→0f(
x)
\lim_f(x)
limx→0
f(x
)就等於0.
這種題型一般不會太難，謹慎地分析左右極限都等於誰，就不會做錯. 還有一種情況，含有指數函式、反正切函式、反餘切函式、取整函式（不超 過某實數的最大整數）等函式的極限可能也要分左右極限去考慮，因為它們在正 負無窮處、或者某點左右的極限是完全不同的。
例三： 計算limx
→0e1
/x
\lim_e^1/x
limx→0
e1/
x.由於當x→
\rightarrow
→ 0+時，1/x趨於正無窮；當x→
\rightarrow
→ 0-時，1/x趨向於負無窮，而正負無窮對於指數函式而言是完全不同的，因此必須分左右極限討論。
由於limx
→0+e
1/
x\lim_e^1/x
limx→0
+e1
/x=+∞
\infty
∞,而limx
→0−e
1/
x\lim_e^1/x
limx→0
−e1
/x=0,因此limx
→0e1
/x
\lim_e^1/x
limx→0
e1/
x不存在。
例四：計算limx
→0[x
]\lim_[x]
limx→0
[x]
,其中[x]為取整函式 。
由於limx
→0+[
x]
\lim_[x]
limx→0
+[x
]=0，limx
→0−[
x]
\lim_[x]
limx→0
−[x
]=-1，它們不相等，因此limx
→0[x
]\lim_[x]
limx→0
[x]
不存在。
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