1) 理解函式的根本原理--對映的一種情況，實數集到實數集的對映
2) 對映法則，也就是函式法則，自變數與應變數之間的法則
3) 函式的特點：
a)
有界性 難度最大，需要構造不等式
b) 單調性利用單調性證明不等式
c) 奇偶性
d) 週期性 注意週期變化，對應的函式是等價的
1) 定義：數列在a的去心鄰域中（xn元素隨著n的增大，而增大），存在n，n為正整數，當n > n時，對於任何乙個e > 0，滿足
xn- a < e a為常數
a就是這個數列的極限
也就是數列中所有的元素，隨著n下標的增大，越來越接近a
2) 結合幾何模型理解
1) 趨向於有限值的函式極限，定義：函式在某去心鄰域((a -r,a + r))中有定義，當存在r > 0，對於所有的e> 0，在區間(a - r,a + r)上，滿足
f(x)- a < e a為常數
則稱a為f(x)在(a - r,a + r)上的極限
2) 趨向於無窮大的函式極限，定義：函式大於某一 【正數x】有定義（函式區間為(x,無窮大)），對於所有的e > 0，當|x| > x時（函式有定義）滿足
|f(x) - a |< e a為常數
3) 函式極限是基於函式模型，也就是乙個二維的變化過程，自變數為變化動力，應變數反映變化現象->逐漸趨向於某個確切的數值 a
i. 自變數為變化動力：也就意味著，求函式極限，必須要明確函式定義域，並且函式在定義域上有定義
4) 數列極限是基於數列模型，也就是乙個一維的變化過程，變化動力是下標n，資料項反映變化現象->逐漸趨向於某個確切的數值 a
i. 變化動力是下標n：也就意味著，會有乙個下標n作為分界點，下標 >n 的資料項的數值與 極限a 越靠近
1) 夾逼準則
難點在於如何構造不等式兩端， 1*最大項 < < 項數*最大項
2) 有界單調數列
i. 證明有界 -> 構造不等式 難點
ii. 單調：一般情況下不需要使用求導公式，而是簡單的 前項 - 後項 前項/後項即可判定單調性
3) 重要極限
a) 或
i. 是型的極限
ii.= 前提是滿足型的極限
iii.= 前提是滿足型的極限
iv.難點在，構造型的極限的極限
b) = 1
1) 有窮個無窮小相加 = 無窮小
2)無窮小 * 有界量 = 無窮小 （0） 經常用到，求極限運算時
3)
極限存在這是個大前提 使用極限運算法則時應該是驗證
a)減法也滿足
b)
c)b
1) 無窮小、無窮大都是乙個變過的過程，而不是乙個確切的數值
2) 無窮小可以用0表示
3) 在 函式f(x)具有極限a 的充分必要條件是f(x) = a + a，a是無窮小
1) 泰勒公式：將某個函式，分解成由指數函式構成的多項式
2) 目的是求近似值，就意味著總是有誤差的，沒有精確的值。泰勒公式展開向越多，數值越精確
3) 泰勒公式用於求近似值與 無窮小/大 近似值不謀而合，在求極限中，
時，都可以用泰勒公式。（注意前提，不滿足的話，就要配）
4)無窮小替換原理就是泰勒公式的變形
a) 帶有拉格朗日餘項的麥克勞林公式
b) 帶有佩亞諾型餘項的麥克勞林公式
只是乙個符號，代表比n更高階的項
5) 無窮下替換背公式
1)高階無窮小 0
a) = 0 ，記作
2)低階無窮小
a) = ，也稱為極限不存在
3) 同階無窮小
a) = c
4)等價無窮小
a) =1 記作 ~
1) 連續性
a) 則函式在點連續
i. 極限必須存在
ii. 在處有定義
iii. 「=」 成立
b) 判斷函式是否連續就從這三個條件依次判斷，是否間斷也是如此，只要乙個條件不滿足，就間斷
c) 左連續
i. 函式在區間（在該區間上連續）的右端點連續
d) 右連續
i. 函式在區間（在該區間上連續）的左端點連續
2) 間斷點
a) 一般存在於
i. 分母為0的點
ii. 函式無定義的點
b) 第一類間斷點：間斷點的左右極限都存在
i. 可去間斷點
存在，但是無定義或 ，但左右極限相等
c) 第二類間斷點：除了第一類間斷點就是第二類間斷點
i. 無窮間斷點
ii. 跳躍間斷點
1) 連續函式
a) 函式連續，那麼該函式的反函式也連續，單調性也是一致的
b) 兩個函式在點連續，那麼他們的和、差、積、商都是連續的
c) 組成復合函式的子函式連續，那麼復合函式也是連續的
2) 初等函式的連續性
a)基本初等函式在其定義域中是連續的
b)一切初等函式在其定義區間是連續的
i.定義區間是包含在定義域中的
1) 作用於 型的，如果不是這兩種型別，則需要構造
2)
a)條件
i.時，函式f(x) g(x) 都趨於0
不是
ii.在點a的去心鄰域， 都存在，且 不是在某個點有定義
iii.存在，或為
b)
c)
不存在，但是
仍然可能存在
3) 用洛必達法則求極限
a)首先檢查極限是否為未定型
b)求導後，代數式更複雜了，應該化簡原式
c)多次求導後，代數式和原式相同，應該化簡原式
d) 轉為 ，引數指數化
e) 轉為 ，
i.通分
ii.倒代換，再通分
高等數學 極限
設為數列，當 為正整數 趨於無限小 總有數字n，n n,使得 xn a 公式 習題 設 q 1,證明等比數列1,q,q 2,lql n 1 的極限是0 答 假設.極限是0，則 xn 0 ln q n 1 1 ln ln q 故，當n 1 ln ln q n n時，就有 lim n q n 1 0 極...
高等數學 函式與極限（一）
定義 設x,y是兩個非空集合，如果存在乙個法則f，使得對x中每個元素x，按法則f，在y中有唯一確定的元素y與之對應，那麼稱f為從x到y的對映。x集合需要每乙個元素都有對應，y集合無需每乙個元素被用。x1對應了多個y，不是對映，x2，x3沒有y與之對應，也非對映。x稱為原像，y稱為像。y中的每乙個元素...
高等數學之函式與極限
1 對映與函式 對映 定義 兩個非空集合x y，若存在法則f，使 x中每個元素x在 y中都能確定唯一元素 y與之對應，則稱f為 x到y的對映，記 作f x y x y 有f x y 即y f x 2x 函式 y f x 定義 數集d r,則稱對映 f d r 為定義在 d上的函式，記為 y f x ...