高等數學 極限

設為數列，當ϵ為正整數(ϵ趨於無限小)，總有數字n，n>n,使得|xn-a|

公式：

習題：設|q|<1,證明等比數列1,q,q^2,...lql^(n-1）,...的極限是0

答：假設....極限是0，則|xn-0|

∴ ln_q^(n-1) 1+ln_ϵ/ln_q;

故，當n=|1+ln_ϵ/ln_q|，n>n時，就有：

lim(n->∝)q^(n-1)=0

極限和有界的區別：

1、有界表示數列有最大值、最小值

2、極限表示數列在自變數趨於∝時，有極限值

綜上所述：極限是有界的充分不必要條件。比如：非單調數列

數列和函式的區別：

1、數列是以正整數為定義域的函式，是一種特殊的函式

。

如果函式的值無限接近於某個確定的數，那麼這個數叫做函式的極限值。研究領域大致為兩個

方向：1、自變數在某個有界定義域的極限值 2、自變數在無窮大定義域的極限值

設函式f(x)在點xo的某一去心領域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數ϵ(無論多小)，> 總存在正數δ，使得0

lim(x-∝) (1+1/x)^x=e;

極限其他定義：

1、如果lim(x->0)α/β=0，β≠0，則α是比β的高階無窮小，記α=o(β),x->0；

2、如果lim(x->0)α/β=0，β≠0，則α是比β的低階無窮小，記β=o(α),x->0；

3、如果lim(x->0)α/β=c，β≠0，c為常數，則α是比β的同階無窮小

4、如果lim(x->0)α/β=1，β≠0，則α是比β的等價無窮小，記α~β；

5、無窮小具有以下特性：自反性：若α ~ β，則 β ~ α；傳遞性：若α~β，β ~ y，則α ~ γ

例子：證明arctanx~x，x->0；

證：設arctanx=y，x=tany；

∵ lim(x->0)arctanx/x

= lim(x->0)y/tany

= lim(x->0)ycosy/siny

= lim(x->0)y/siny+lim(x->0)cosy=1；

∴ arctanx~x，x->0；

洛必達法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法

，前置條件：一是分子分母的極限是否都等於零(或者無窮大)；二是分子分母在限定的區域內是》 否分別可導

。

∵ (x-1-lnx)->0且(x-1)*lnx->0，滿足洛必達法則，故求導：

= limit(x->1)_((1/x-1)/(x-1)'lnx+lnx'(x-1))

= limit(x->1)_((1/x-1)/(lnx+(x-1)/x) ,再求導：

= limit(x->1)_(-1/x^2)/(1/x+1)=-1/2；

設函式f(x)在點xo的某一領域內有定義，如:

lim(▵x->0)▵y = lim(▵x->0)[f(x+▵x) - f(x)]= 0；

那麼: 函式y=f(x)在xo上連續；

簡述：lim(x->xo)f(x) = f(xo)

定義：在區間上每乙個點都連續的函式，叫做在該區間上的連續函式，連續函式圖形是一條連》 > 續不間斷曲線。

設函式f(x)在xo的去心領域內有定義，在此前提下，如果函式f(x)有下列三種情況之一：

1、在x=xo上沒有定義；

2、在x=xo上有定義但lim(x->xo)f(x)不存在；

3、在x=xo上有定義，但lim(x->xo)f(x)存在，但lim(x-xo)f(x)≠f(xo)；

則：函式f(x)在點xo上不連續。

1、設函式f(x)，g(x)在點x。上連續，則他們的和、差、商、積(f(x)/g(x)，gx≠0)都在x。上連續

2、設函式f(x)在區間ix單調遞增(遞減)且連續，那麼反函式同理

3、設函式f(g(x))，如存在lim(x->xo)g(x)=uo，且f(y)在y=uo上連續，則lim(x->xo)f(g(x))=f(uo)

舉例：求函式lim(x->3)√(x-3)/(x^2^-9)的極限值證：設函式f(x)=√u，u=(x-3)/(x^2^ - 9),由於u=lim(x->3)(x-3)/(x^2^-9)=1/6,且函式y=√u在u=1/6時連續，根據定理3：lim(x-``>3)√(x-3)/(x ^ 2-9)=√(1/6)=√6/6

4、設函式f(g(x))，如存在g(x)在x=xo時連續，g(xo)=uo，且f(y)在y=uo上連續，f(g(x))在xo上連續

舉例：求函式y=sin(1/x)的連續性。

證：設y=sin(1/x)，由y=sin(u)，u=1/x組成，

由於1/x在(--∞，0)~(0.+∞)上連續，

且y=sin(u)在(--∞ ~ +∞)上連續，

根據定理4：y=sin(1/x)在(--∞，0) ~ (0.+∞)連續

單項式：

由數或字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的乙個數或乙個字母也叫做單項式

多項式：

在數學中，由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式

有理函式：

有理函式是通過多項式的加減乘除得到的函式。有理函式存在分式且分母可能為0，所以不一定是連續函式。

攻克高等數學極限

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高等數學 數列的極限

本部落格目前階段記錄的數學相關的知識，是為了學習機器學習而準備的，所以可以很明顯的感覺到數學的實用性和數學的魅力。但從另一側面來說，本部落格記錄的數學知識是不完整的，也是不成體系的，也沒有深挖相關知識的來龍去脈，只是本人覺得機器學習中需要某些數學知識的時候，就記這些知識，夠用就可以了。所以，並不適合...

高等數學 函式 極限 連續

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