設函式y=f(x)在點x。某個領域內有定義，當自變數x在x。處取得增量▵x(點x。，▵x仍在定義域》 範圍內)，相應的因變數取得增量▵y = f(x。+▵x)-f(x。)，如果▵y與▵x之比當▵x->0時的極限存在，> 那麼稱函式y=f(x)在點x。處可導，並稱這個極限為函式y=f(x)在點x。處的導數，記為f『(x。)，>即：
f『(x。) = lim(▵x->0)▵y/▵x = lim(x->0) f(x。+▵x)-f(x。)/▵x，也可記作：y』|x=x。，dy/dx|x=x。
定理1：證1(lim▵x0->0)：如果函式u=u(x)及v=v(x)都在點x具有導數，那麼它們的和、差、商、積都在x具有導數，且:
1、[u(x)±v(x)]』 = u'(x)+v'(x)
2、[u(x)v(x)]』 = u'(x)v(x)+ u(x)v'(x)
3、[u(x)/v(x)]』 = (u'(x)v(x)- u(x)v'(x))/v^2(x)(v(x)≠0)
[u(x)±v(x)]』
=(u(x-▵x)±v(x-▵x))-(u(x)±v(x))/▵x
=(u(x-▵x)-u(x))/▵x ± (v(x-▵x)-v(x))/▵x
=u』(x)±v』(x)
證2(lim▵x0->0)：
[u(x) v(x)]』
=(u(x+▵x) v(x+▵x))-(u(x) v(x))/▵x
=v(x+▵x)(u(x+▵x)-u(x))/▵x+ u(x+▵x)(v(x+▵x)-v(x))/▵x
=u』(x)v(x)+ u(x)v』(x)
證3(lim▵x0->0)：
[u(x) / v(x)]』
=(u(x+▵x) /v(x+▵x))-(u(x) / v(x))/▵x
=(u(x+▵x) v(x)-v(x+▵x)u(x) )/(v(x)v(x+▵x)▵x)
=(u(x+▵x)v(x)-v(x)u(x)-ux(v(x+▵x)-v(x))/▵x/(v(x)v(x+▵x)
=(u』(x)v(x)+ u(x)v』(x))/(v(x)v(x+▵x)
=(u』(x)v(x)+ u(x)v』(x))/v^2(x)
定理2：>如果函式x=f(y)在區間iy內
單調、可導且f『(y)≠0，那麼它的反函式y=f-1(x)在區間ix=內也可導，則：>[f-1(x)] = 1/f』(y) 即：
反函式的導數等於直接函式導數的倒數
定理3：定理2舉例：>如果u=g(x)在點x可導，而y=f(u)在點u=g(x)可導，那麼符合函式y=f[g(x)]在點x可導，且其導數為：
dy/dx=f'(u) * g'(x)
y=(arcsinx),ix∈(-π/2,π/2)求其導數：
∵y=(arcsinx),則x=sin(y),
∵sin(y)』=cos(y),且y=(sinx)在ix∈(-π/2,π/2)單調可導，cos(y)≠0，
根據定理2得：
y=(arcsinx)『=1/cos(y)=1/√(1-sinx^2)=1/√1-x ^2 (ix∈(-π/2,π/2))
定理3舉例：
y=e^(x ^ 3),求其導數：
設 y=e^ u , u=x^3,根據定理3得：
y『=e』(u)u』(x)=e ^u3x ^2
=ex3 * 3x ^2
導數習題：
1、求y=sin(2x/(1+x^2))導數：
設y=sin(u),u=2x/(1+x^2);
根據定理3,得：
y』=cosu * u』=cos(2x/(1+x^2)) * u』;
設u=k/t，則k=2x,t=(1+x^2);
根據定理1,得：
u』=(2 * (1+x^2)-2x * 2x)/(1+x ^2) ^2
=2(1-1x ^2)/(1+x ^2) ^2
y』=cos(2x/(1+x^2)) * 2(1-1x ^2)/(1+x ^2) ^2;
2、求y=lncos(e^x)導數:
設y=ln(u),u=cos(e^x);根據定理3,得：
y』=1/cos(e^x) * u』;
設u=cos(t),t=e^x;根據定理3,得：
u』=-sin(e^x) * e^x;
y』=-1/cos(e^x) * sin(e^x) * e^x;
y』=-1/tan(e^x) * e ^x;
常用的導數：
(c')=0;
(x^u)'=ux ^(u-1);
(sinx)'=cosx; (cosx)'=-sinx;
(tanx)'=sec^2x; (cotx)'=-csc ^2x;
(a^x)'=a ^xlna(a>0,a≠1);
(log_ax)'=1/xlna(a>0,a≠1); (lnx)'=1/x;
一般地，函式y=f(x)的導數y』=f』(x)仍然是x的函式，我們把y』=f』(x)的導數叫做函式y=f(x)的二階導數，記作y』'或d^2y/dx ^2 = d(dy/dx)/dx，二階及二階以上的導數叫做n階導數。
常用的高階導數：
y=sinx;y^'(n)=sinx(x+n * π/2)；
y=cosx;y^'(n)=cos(x+n * π/2)；
y=ln(1+x);y^'(n)=(-1)^(n-1) * (n-1)!/(1+x)^n;
y=x^u;y^'(n)=u * (u-1) * .... * (u-n+1)* x^(u-n+1),當n=u， y^'(n)=n!
y=(u(x)+v(x));y^'(x)=u^'(x)+v^'(x);
y=(u(x) * v(x));y^'(x)=∑(k=0,k->n)_cnu^(n-k) * v^(k)
如果變數x和y滿足乙個方程f(x，y)=0，在一定條件下，當x取區間內的任一值時，相應的總有滿足方程的唯一的y值存在，那麼就說方程f(x，y)=0在該區間內確定乙個隱函式。隱函式求導方法：
1.求由方程e^y+xy-e=0所確定的隱函式的導數dy/dx。
步驟一：根據導數相乘法則，對方程左右兩邊分別求導得：
e^y*y』+y+xy』 = 0;
y』 = -y/(e^y+x),x+e ^y』≠0;
2.求y^5+2y-x-3x ^7 = 0;
5y^4y』+2y』-1+21x ^6 = 0;
5y^4y』+2y』 = 1+21x ^6;
y』 = (1+21x ^6)/5y ^4+2;
高等數學複習之偏導數
對於導數還有些印象，對於偏導數，只知道名字了，大學這一年的高數，看來是都還給老師了.1 偏導數的作用？與導數一樣，反映的是二元函式的變化率，只不過多了乙個自變數。2 偏導數的幾何意義？有個圖更直觀些。要解決的問題 在xoy平面內，當動點由p x0,y0 沿不同方向變化時，函式f x,y 的變化快慢一...
《高等數學》 總結 導數 微分 不定積分
必須掌握各個概念的定義。從定義中，深入的理解概念，以及發掘概念之間的相互聯絡。微積分有兩種定義 1 古典微積分 這是一種直觀 便於理解的定義。首先定義微分是微小變化量。比如函式y f x 中dx是x的微小變化量，那麼dy就是dx對應的y的微小變化。導數也就從中得到了定義 是兩個微小變數的比值 dy ...
高等數學導學 九七的高等數學
高等數學 以數二為基準，後續會補充 我比較放肆和大膽的說一句，很多人學數學根本就沒有學懂，只知道個公式，會解幾道題，這樣的學習跟背書沒什麼區別。哪怕對於應試，這樣也拿不到高分。學習本就是x 1的過程，數學更是如此，少了一環，對後面來說都有極大的影響。學數學，第乙個是認知，這是學數學的前提。沒有乙個系...