對偶理論入門

2021-10-06 20:55:47 字數 3296 閱讀 2110

線性規劃(linear programming,簡稱lp)是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較為成熟的乙個重要分支,它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法。研究線性約束條件下線性目標函式的極值問題的數學理論和方法。線性規劃中普遍存在配對現象,即對每乙個線性規劃問題,都存在另乙個與它有密切關係的線性規劃問題,其中之一稱為原問題,而另乙個稱它的對偶問題。這篇部落格提到的對偶理論(duality theory)就是研究線性規劃中原始問題與對偶問題之間關係的理論。

對偶理論自2023年提出以來,已經有了很大發展,現在關於線性規劃的一般著作都包含這部分內容,它已成為線性規劃的必不可少的重要基礎理論之一。

1.1 對偶問題的表達

線性規劃中的對偶可以概括為三種形式。

(1)對稱形式的對偶

設原問題為:

min  cx

s.t.  ax >= b,

x>= 0

則對偶問題為:

max  wb

s.t.   wa <= 0,

w>=0

其中a=(p1,....,pn)是m*n矩陣,b=(b1,......,bm)

t是m維列向量,c=(c1,.......,cn

)是n維行向量. x =(x1,.......,x2)t

是由原問題的變數組成的n維列向量,w=(w1,......,wm)是由對偶問題的變數組成的m維行向量。

在原問題中,目標函式是c與x的內積,ax>=b包含m個不等式約束,其中每個約束條件記作

aix>=bi.

ai是a的第i行,變數xj有非負限制。

在對偶問題中,目標函式是b與w的內積,wa<=c包含n個不等式約束,每個約束條件記作

wpi<= cj,

對偶變數wi也有非負限制。

根據對稱對偶的定義,原問題中約束條件aix>=bi

的個數恰好等於對偶變數的個數,原問題中變數的個數,恰好等於對偶問題中約束條件wa<=c的個數。

按照上述定義,很容易寫出乙個線性規劃問題的對偶問題。

例如:設原問題是:

則其對偶問題按照上述的定義可以寫成

(2)非對稱形式的對偶

在上述對稱形式的對偶中我們考慮的約束條件為不等式約束條件,這裡我們對等式約束條件下的對偶問題稱為非對稱形式的對偶。但是對偶問題的變換方式和上述類似,只需稍微的變換一下,如下所示。設原問題為:

min    cx

s.t.  ax = b,

x>=0

這裡稍加變換就可以寫成對稱形式的等價如:

min    cx

s.t.  ax >= b,

-ax >= -b,

x>= 0

按照對稱形式的策略,此時的對偶問題為:

max ub-vb

s.t.  ua- va <=c,

u,v>=0.

令w=u-v ,顯然w沒有非負限制,於是得到

max   wb

s.t.   wa<=c.

這裡也給出個例子如下:

它的對偶問題是:

(3)一般情形

結合等式約束和不等式約束條件的問題就是第三種一般情形。

設原問題為

min cx

s.t. a1x >=b,

a2x = b2,

a3x <= b3,

x>=0,

其中,a1是m1*n矩陣,a2是m2*n矩陣,a3是m3*n矩陣,b1,b2和b3分別是m1維,m2維和m3維列向量,c是n維行向量,x是n維列向量。

對上述問題進行變換,引入鬆弛變數得:

min cx

s.t.  a1x – xs =b1,

a2x = b2,

a3x + xt = b3,

x, xs, xt >= 0,

其中,xs是有m1個鬆弛變數組成的m1維列向量,xt是有m3個鬆弛變數組成的m3維列向量,上述問題即

根據非對稱形式對偶變換方法得到:

其中w1,w2和w3分別是由變數組成的m1維,m2維和m3維行向量。

原問題中的約束a1x>=b1所對應的對偶變數w1有非負限制,a2x=b2所對應的對偶變數w2無正負限制,a3x<=b3所對應的對偶變數w3有非正限制。

1.2 對偶問題的基本定理

定理1.1(弱對偶定理)

設x(0)是原問題max z=cx,ax≤b,x≥0的可行解

y(0)是其對偶問題minw=yb,ya≥c,y≥0的可行解

則 cx(0)

≤y(0)

b。定理1.2(最優性定理)

設x(0)是原問題max z=cx,ax≤b,x≥0的可行解,

y(0)

是其對偶問題min w=yb,ya≥c,y≥0的可行,

若cx(0)

=y(0)

b,則x(0)

、y(0)

分別是它們的最優解。

定理1.3(對偶定理)

若原問題max z=cx,ax≤b,x≥0有最優解,

則其對偶問題min w=yb,ya≥c,y≥0 一定有最優解,且二者的目標函式值相等。

定理1.4(互補鬆弛定理)

原問題max z=cx,ax≤b,x≥0及其對偶問題minw=yb,ya≥c,y≥0 的可行解x(0

)、y(0)

是最優解的充要條件是

y(0)

xs = 0 ;

ysx(0)

= 0其中, xs、ys分別是原問題鬆弛變數向量和對偶問題剩餘變數向量。

對偶理論入門

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