動態規劃專題學習

一.明確dp陣列的含義

構造一維dp[i]、二維dp[i][j]，明確其代表了什麼狀態，一般與題目的目的有關。如解決萬用字元問題，就定義boolean dp表示s[i-1]與p[j-1]的匹配成功與否；解決最長子陣列問題，就定義dp表示a[i-1]與b[j-1]的最長字尾公共陣列長度；解決最長子序列問題，就定義dp表示a[i-1]與b[j-1]的最長公共序列長度。

二.定義base case基本值

dp[0][j]與dp[i][0]表示什麼情況，有時預設為0，有的情況需要初始化

如萬用字元問題dp[0][j]表示主串為0模式串不為0的情況下，*可以使其為true，dp[i][j]表示主串不為0模式串為0，一律為false，而dp[0][0]=true

而在最長公共子陣列/子串行問題中預設初始都為0

三.尋找狀態轉移方程/繼承關係

關鍵一步：已知上一步的狀態，如何求當前狀態值。

在萬用字元問題中分情況討論，a與a/b ，a與?，a與*，』 '與*四種情況

在子陣列問題中，當前字元相等則count+1，否則為0

在子串行問題中，當前字元相等則count+1，否則繼承a[i-1]b[j]或a[i]b[j-1]的較大值。

最後返回最終狀態即可。

動態規劃可以解決的問題：

型別1：兩個字串/陣列之間的某種關係，如最長公共子串，最長公共子序

列，兩字串匹配…

型別2：路徑規劃方案 leetcode 66 路徑之和

leetcode 44 字串的通配

* ：任意長度字串(可為0)

？：單個字元

【分析思路】

假設主串a的長度為n，模式串b的長度為m，比較的情況有如下幾種：

1.如果b的位置上為普通字元，則比較兩個字元是否匹配，相等則繼續向前比較 a[n-2]與b[m-2]

2.如果b位置上為？，則跳過比較a[n-1]，向前比較a[n-2]與b[m-2]

3.如果b位置上為*，的作用分為2種：

①匹配0個a字元，下一步比較a[n-1]與b[m-2]，即b向前走一步，a不動

②匹配多個a字元，下一步比較a[n-2]與b[m-1]，即a向前走一步，b不動

【轉移方程】

f[i][j]代表a的前i個和b的前j個字元能否匹配

·對於情況1和2，合併 f[i][j] = f[i-1][j-1]

·對於情況3：

①a不動，b動，跳過b的，向前繼承：f[i][j] = f[i][j-1]

②a動，b不動，*的作用還可以保留在下一次使用，向前繼承：

f[i][j] = f[i-1][j]，這裡的b[j]還是，仍可匹配多次

邊界情況：

① dp[0][0]=true，即當字串s和模式p均為空時，匹配成功；

② dp[i][0]=false，即空模式串無法匹配字串

③ dp[0][j]，看p前面有幾個就匹配多少空字元，**3：true,true,false

【**】

// 動態規劃 dp[i][j]表示s(i)和p(j)前的字串的能否匹配上
public
static
boolean
ismatch
(string s, string p)
else
}for
(int i =
1; i <= m;
++i)
else
if(p.
charat
(j -1)
=='?'
|| s.
charat
(i -1)
== p.
charat
(j -1)
)}}return dp[m]
[n];
}

leetcode 718 最長公共/重複子陣列

給出兩個整數陣列a和b，返回兩個陣列中公共的、最長的子陣列

[暴力搜尋]

ans = 0
for i in [0 .. a.length - 1]
for j in [0 .. b.length - 1]
k = 0
while (a[i+k] == b[j+k]) do # and i+k < a.length etc.
k += 1
end while
ans = max(ans, k)
end for
end for

如何優化？暴力搜尋進行了重複比較，為了只比較一次，用動態規劃記錄當前位置的兩個字串最長公共字尾陣列，進行狀態轉移

dp[i][j]表示a[i-1]前的陣列中與b[j-1]前的陣列中的最長公共長度(必須包含末尾數字，即以a[i-1],b[j-1]為字尾的最長子陣列)

[狀態轉移方程]

若a[i-1]==b[j-1]，則dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

否則dp[i][j] = 0;

//leetcode 718動態規劃解決最長公共子陣列
public
static
intmaxcommonsubarray
(int
a,int[
] b)
max = math.
max(max,dp[i]
[j]);}
}return max;
}

leetcode 1143 最長公共/重複子序列

兩個字串的最長公共子串行序列是指：「ace」是「abcde」的子串行，即在不改變順序的情況下可以忽略某些字串

因為子串行型別的問題，窮舉出所有可能的結果都不容易，而動態規劃演算法做的就是窮舉 + 剪枝，它倆天生一對兒。所以可以說只要涉及子串行問題，十有**都需要動態規劃來解決，往這方面考慮就對了。

[狀態轉移]

思路：理清楚當前狀態如何繼承上乙個狀態

當比較到dp[i][j]位置時，對於a[i-1]與b[j-1]，

若a[i-1]=b[j-1]，則繼承dp[i-1][j-1] + 1

若a[i-1]！=b[j-1]，則取a[i-2]&b[j-1]或a[i-1]&b[j-2]比較結果的較大值繼承：因為當前不等，就取前面子串行的最大值繼承max(dp[i-1][j]，dp[i][j-1])。

【**】

public
intlongestcommonsubsequence
(string text1, string text2)
else}}
return dp[len1]
[len2]
;}

可見最長公共子陣列和最長公共子串行的思路一致，細節不同在於寫狀態轉移方程時如何繼承上乙個狀態值。

子陣列的問題在於若比較的字元不同，則公共長度為0(以其為字尾)

子串行的問題在於若比較的字元不同，則公共長度繼承之前子串行的最大值

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