這個題，初學之時，老師教我們用分治演算法，分三路：在左邊子陣列、在右邊子陣列以及跨越中線，其實用動態規劃已經很簡單了，看狀態轉移方程就明白了：
\[dp[i] = \beginarr[i], & \quad i==0\\
max\, & \quad otherwise
\end
\]
def maximum_subarr(arr):
if not arr:
return none
dp = [0]*len(arr)
dp[0] = arr[0]
for i in range(1, len(arr)):
dp[i] = max(dp[i-1]+arr[i], arr[i])
return max(dp)
\[dp[i][j] = \begindp[i-1][j-1], & \quad s1[i] == s2[j]\\
min\+1, & \quad otherwise
\end
\]注意邊界的情況：i、j是從1開始的，0表示空字串。
def edit_distance(s1, s2):
if len(s1) == 0:
return len(s2)
if len(s2) == 0:
return len(s1)
dp = [[0]*(len(s2) + 1) for _ in range(len(s1) + 1)]
for i in range(len(s1)+1):
for j in range(len(s2)+1):
if i == 0:
dp[i][j] = j
elif j == 0:
dp[i][j] = i
else:
if s1[i-1] == s2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
else:
dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), dp[i-1][j-1]) + 1
return dp[len(s1)][len(s2)]
\[dp[i][j] = \begindp[i-1][j-1]+1, & \quad s1[i] == s2[j]\\
0, & \quad otherwise
\end
\]最終的答案是整個dp陣列中的最大值。
def longest_common_substring(s1, s2):
if not s1 or not s2:
return 0
max_len = 0
dp = [[0]*(len(s2)+1) for _ in range(len(s1)+1)]
for i in range(1, len(s1)+1):
for j in range(1, len(s2)+1):
if s1[i-1] == s2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
if dp[i][j] > max_len:
max_len = dp[i][j]
else:
dp[i][j] = 0
return max_len
\[dp[i][j] = \begindp[i-1][j-1]+1, & \quad s1[i] == s2[j]\\
max\, & \quad otherwise
\end
\]
def longest_common_subseq(s1, s2):
if not s1 or not s2:
return 0
m = len(s1)
n = len(s2)
dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if s1[i-1] != s2[j-1]:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
else:
dp[i][j] = max(max(dp[i-1][j-1]+1, dp[i][j-1]), dp[i-1][j])
return dp[m][n]
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