三角分解（lu分解、lr分解）
qr分解
特徵值分解（譜分解，evd分解）
奇異值分解（svd分解）
把乙個矩陣a
aa表示為多個矩陣連乘的形式。
a =l
u=lr
a=lu=lr
a=lu=l
r通過對a
aa不斷的左乘初等矩陣，對a
aa進行初等變換，使其變為上三角矩陣，那麼得到的上三角矩陣即為u
uu，這些初等矩陣的逆即為lll。
eg：e3e
2e1a
=u
=>a=
(e3e
2e1)
−1
ue_3e_2e_1a=u => a=(e_3e_2e_1)^u
e3e2
e1a
=u=>a=
(e3
e2e
1)−
1ua =q
ra=qr
a=qr
對a
aa進行施密特標準正交化，得到q
qq由於q
qq是正交矩陣，qtq
=i
q^tq=i
qtq=
i，則qta
=qtq
r=
rq^ta=q^tqr=r
qta=qt
qr=r
，即：r=q
ta
r=q^ta
r=qta當a
aa為對稱矩陣時：
①. 通過相似變換，將a
aa變換為三對角矩陣a
0a_0
a0（除主對角線、主對角線挨著的兩條線，其他元素為零）；
②. 對a
0a_0
a0進行qr分解，得到a0=
q0r0
a_0=q_0r_0
a0=q0
r0
，令a 1=
r0q0
a_1=r_0q_0
a1=r0
q0
；③. 對a
1a_1
a1進行qr分解，得到a1=
q1r1
a_1=q_1r_1
a1=q1
r1
，令a 2=
r1q1
a_2=r_1q_1
a2=r1
q1
；④. 重複上述過程，得到a
ka_k
ak，當a
ka_k
ak趨於對角矩陣時，其特徵值即為a
0a_0
a0的特徵值（因為ak+
1=rk
qk=q
k−1q
krkq
k=qk
−1ak
qk
a_=r_k q_k=q_k^ q_k r_k q_k = q_k^ a_k q_k
ak+1=
rkq
k=q
k−1
qkr
kqk
=qk
−1a
kqk
）。當a
aa不是對稱矩陣時：
①. 通過householder變換，將a
aa變換為hessenberga
0a_0
a0（上三角矩陣，左下零三角中緊貼主對角線的那條線上的元素均不為零），hessenberg矩陣的qr分解一定是另乙個hessenberg矩陣乘以上三角矩陣；
②. 對a
0a_0
a0進行qr分解，得到a0=
q0r0
a_0=q_0r_0
a0=q0
r0
，令a 1=
r0q0
a_1=r_0q_0
a1=r0
q0
；③. 對a
1a_1
a1進行qr分解，得到a1=
q1r1
a_1=q_1r_1
a1=q1
r1
，令a 2=
r1q1
a_2=r_1q_1
a2=r1
q1
；④. 重複上述過程，得到a
ka_k
ak，當a
ka_k
ak趨於上三角矩陣時，其特徵值即為a
0a_0
a0的特徵值。
a =q
dq−1
a=qdq^
a=qdq−
1求aa
a的特徵值和特徵向量即可。
a =u
dv
ha=udv^h
a=udvh
計算a ah
aa^h
aah的特徵值和標準正交特徵向量，用向量組成矩陣uuu；
計算a ha
a^ha
aha的特徵值和標準正交特徵向量，用向量組成矩陣vvv；
使用特徵值開根號得到奇異值，組成矩陣ddd。
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