RSA演算法簡介

rsa演算法是一種非對稱性加密演算法，現在算是最具有影響力的演算法，簡單來說rsa演算法運用了"乙個大整數進行因式分解具備一定的難度"這個數學知識來進行加密，對乙個極大整數做因式分解越難，那麼想要破解加密過後的密碼就越難。在了解rsa演算法之前，先要了解以下幾個知識點：

__如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關係(coprime)。__比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關係。這說明，不是質數也可以構成互質關係。

關於互質關係，不難得到以下結論：

任意兩個質數構成互質關係，比如13和61。乙個數是質數，另乙個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關係，比如3和10。如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關係，比如97和57。1和任意乙個自然數是都是互質關係，比如1和99。p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關係，比如57和56。p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關係，比如17和15。

在小於或等於8之中，只有1,3,5,7和8是互質關係，所以φ(8)==4

這裡只需要知道幾個知識點就夠了，沒必要把尤拉函式全部給理解了。

φ(n) 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需要一步步討論。

第一種情況

如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關係。

第二種情況

如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每乙個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。

第三種情況

如果n是質數的某乙個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則

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比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

第四種情況

如果n可以分解成兩個互質的整數之積，n = p1 × p2 則 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)，

即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

當兩個整數a,b是互質關係的時候，那麼a的φ(a)次方除於n除餘必然是1

也就是說，a的φ(n)次方被m除的餘數為1。或者說，a的φ(m)次方減去1，可以被m整除。比如，3和7互質，而7的尤拉函式φ(7)等於6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）。

這個公式也不進行證明，比較複雜，只需要記住結論就好了。

尤拉定理有乙個特殊情況，當m是質數p時，此式則為：

這就是著名的費馬小定理。它是尤拉定理的特例。

尤拉定理是rsa演算法的核心。理解了這個定理，就可以理解rsa。

如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。

比如，3和11互質，那麼3的模反元素就是4，因為 (3 × 4)-1 可以被11整除。顯然，模反元素不止乙個， 4加減11的整數倍都是3的模反元素 ，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。

具體可以參考：

發表日期： 2023年6月27日

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