高等數學重積分總結
第九章 二重積分
【本章邏輯框架】
【本章學習目標】
⒈理解二重積分的概念與性質，了解二重積分的幾何意義以及二重積分與定積分之間的聯絡，會用性質比較二重積分的大小，估計二重積分的取值範圍。
⒉領會將二重積分化為二次積分時如何確定積分次序和積分限，如何改換二次積分的積分次序，並且如何根據被積函式和積分區域的特徵選擇座標系。熟練掌握直角座標系和極座標系下重積分的計算方法。
⒊掌握曲頂柱體體積的求法，會求由曲面圍成的空間區域的體積。
9.1 二重積分的概念與性質
【學習方法導引】
1．二重積分定義
為了更好地理解二重積分的定義，必須首先引入二重積分的兩個「原型」，乙個是幾何的「原型」－曲頂柱體的體積如何計算，另乙個是物理的「原型」—平面薄片的質量如何求。從這兩個「原型」出發，對所抽象出來的二重積分的定義就易於理解了。
在二重積分的定義中，必須要特別注意其中的兩個「任意」，一是將區域d成n個小區域的分法要任意，二是在每個小區域上的點的取法也要任意。有了這兩個「任意」，如果所對應的積分和當各小區域的直徑中的最大值時總有同乙個極限，才能稱二元函式在區域d上的二重積分存在。
2．明確二重積分的幾何意義。
(1) 若在d上≥0，則表示以區域d為底，以為曲頂的曲頂柱體的體積。特別地，當＝1時，表示平面區域d的面積。
(2) 若在d上≤0，則上述曲頂柱體在oxy面的下方，二重積分的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積
(3)若在d的某些子區域上為正的，在d的另一些子區域上為負的，則表示在這些子區域上曲頂柱體體積的代數和(即在oxy平面之上的曲頂柱體體積減去oxy平面之下的曲頂柱體的體積).
3．二重積分的性質，即線性、區域可加性、有序性、估值不等式、二重積分中值定理都與一元定積分類似。有序性常用於比較兩個二重積分的大小，估值不等式常用於估計乙個二重積分的取值範圍，在用估值不等式對乙個二重積分估值的時候，一般情形須按求函式在閉區域d上的最大值、最小值的方法求出其最大值與最小值，再應用估值不等式得到取值範圍。
【主要概念梳理】
1.二重積分的定義 設二元函式f(x,y)在閉區域d上有定義且有界.
分割 用任意兩組曲線分割d成n個小區域同時用表示它們的面積，其中任意兩小塊和除邊界外無公共點。既表示第i小塊,又表示第i小塊的面積.
近似、求和 對任意點 ,作和式
取極限 若為的直徑，記,若極限
存在，且它不依賴於區域d的分法，也不依賴於點的取法，稱此極限為f(x,y)在d上的二重積分. 記為
稱f(x,y)為被積函式，d為積分區域，x、y為積分變元，為面積微元(或面積元素).
2.二重積分 的幾何意義
(1) 若在d上f(x,y)≥0，則表示以區域d為底，以f(x,y)為曲頂的曲頂柱體的體積.
(2) 若在d上f(x,y)≤0，則上述曲頂柱體在oxy面的下方，二重積分 的值是負的，其絕對值為該曲頂柱體的體積
(3)若f(x,y)在d的某些子區域上為正的，在d的另一些子區域上為負的，則表示在這些子區域上曲頂柱體體積的代數和(即在oxy平面之上的曲頂柱體體積減去oxy平面之下的曲頂柱體的體積).
3．二重積分的存在定理
3.1若f(x,y)在有界閉區域d上連續，則f(x,y)在d上的二重積分必存在(即f(x,y)在d上必可積).
3.2若有界函式f(x,y)在有界閉區域d上除去有限個點或有限個光滑曲線外都連續，則f(x,y)在d可積.
4．二重積分的性質
二重積分有與定積分類似的性質.假設下面各性質中所涉及的函式f(x,y)，g(x,y)在區域 d上都是可積的.
性質1 有限個可積函式的代數和必定可積，且函式代數和的積分等於各函式積分的代數和，即
性質2 被積函式中的常數因子可以提到積分號前面，即
性質3 若d可以分為兩個區域d1,d2，它們除邊界外無公共點，則
性質4 若在積分區域d上有f(x,y)=1，且用s(d)表示區域d的面積，則
性質5 若在d上處處有f(x,y)≤g(x,y)，則有
推論性質6(估值定理) 若在d上處處有m≤f(x,y)≤m，且s(d)為區域d的面積，則
性質7(二重積分中值定理) 設f(x,y)在有界閉區域d上連續，則在d上存在一點,使
【基本問題導引】
根據二重積分的幾何意義或性質求解下列各題：
1． ，其中
2．設d是由軸，軸與直線所圍成的區域，則的大小關係是 .
【鞏固拓展提高】
1．若f(x,y)在有界閉區域d上連續，且在d的任一子區域d*上有，試證明在d內恒有f(x,y)＝0
2．估計的值，其中
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高等數學（10） 重積分
本章和下一章可以說是複習提綱，而不是筆記。1.1 曲頂柱體的體積 官方見課本 平頂柱體的體積 曲頂柱體的體積 也可以這樣寫 也可以這樣寫 課本也有平面薄片的質量，本文略過，它們都只是為了方便理解二重導的幾何意義而寫的。標準二重導積分 1.2 二重導積分的性質 二重積分的和 如果f x,y g x,y...