本文簡要介紹傅利葉變換家族的幾大成員，包括：傅利葉級數、傅利葉變換、離散時間傅利葉變換和離散傅利葉變換。本文之後我會發布五篇文章全面地介紹傅利葉變換家族：《一篇文章搞懂傅利葉級數》、《一篇文章搞懂傅利葉變換》、《一篇文章搞懂離散時間傅利葉變換》、《一篇文章搞懂離散傅利葉變換》、《一篇文章搞懂快速傅利葉變換》。
傅利葉家族有四大成員——傅利葉級數、傅利葉變換、離散時間傅利葉變換、離散傅利葉變換。四大家庭成員，**於其所處理訊號源的兩個性質的排列組合。這兩個性質為：（1）訊號源是連續訊號還是離散訊號，（2）訊號源是週期訊號還是非週期訊號。
如果變換的訊號源為週期連續訊號，則我們將此類傅利葉變換稱作傅利葉級數；如果變換的訊號源為非週期的連續訊號，則我們將此類傅利葉變換單純稱作傅利葉變換；如果變換的訊號源為非週期的離散訊號，則我們將此類傅利葉變換稱作離散時間傅利葉變換（dtft）；如果變換的訊號源為週期的離散訊號，則我們將此類傅利葉變換稱作離散傅利葉變換（dft）。快速傅利葉變換（fft）是計算離散傅利葉變換的快速演算法。
傅利葉家族四大成員中只有乙個成員可以通過計算機求解，當然它也就成為了工程師最應該掌握的傅利葉變換。傅利葉級數和傅利葉變換的處理物件均為連續訊號，計算機無法表示連續訊號，因而傅利葉級數和傅利葉變換無法通過計算機求解。
我們通過計算機做傅利葉分解的訊號通常為離散訊號，並且訊號的長度不是無窮大的。然而傅利葉家族的四大成員所針對的訊號長度均為無窮大。因此當我們針對有限長度的離散訊號進行傅利葉分解時，我們需要對輸入訊號進行想象，有如下兩個方案：
方案一：可以想象將有限長度的離散訊號兩側補上無窮多個0，這樣有限長度的離散訊號就變成了非週期的離散訊號，這時我們就可以應用離散時間傅利葉變換分解訊號了，然而對非週期的離散訊號做傅利葉分解會生成無窮多的正弦和余弦訊號，因此該方案行不通（計算機無法處理無窮多的訊號）。
方案二：可以想象將有限長度的離散訊號週期地向兩側擴充套件，這樣有限長度的離散訊號就變成了週期的離散訊號，這時我們就可以應用離散傅利葉變換分解訊號了，週期的離散訊號做傅利葉分解會生成有限多的正弦和余弦訊號，因此該方案可行。
因此如果工程師想要通過計算機對訊號做傅利葉分解，他唯一的選擇就是離散傅利葉變換。因此離散傅利葉變換是工程師最應該搞懂的傅利葉變換。由於dft的計算過程中存在大量的點積運算，因此當處理較長的訊號時，dft會耗費很長的時間。fft作為計算dft的快速演算法此時就非常有用了。
dtft變換的性質 傅利葉變換（一） 傅利葉級數
開的這個坑大概就是寫寫從另乙個視角來看快速離散傅利葉變換fft。oi當中常見的fft的推導方法是從多項式乘法出發，作為多項式乘法的優化演算法出現，關於多項式的相關理論詳見miskcoo大佬的blog從多項式乘法到快速傅利葉變換 miskcoo s space，寫的十分詳細。在這個專題下，將會依次講解...
傅利葉變換的性質
關於傅利葉變換的性質，參考資料 1 p196有詳細的說明，這裡不再重複相同的內容，只是做乙個補充。在參考資料 2 p130使用到傅利葉變換的乙個性質 下面對其進行推導。傅利葉變換公式 對f u 再次進行傅利葉變換得 沒有使用t替換u 傅利葉反變換公式為 對比式 2 的右邊和式 3 可知，式 2 等於...
dtft頻移性質 08 DTFT變換的性質
dtft變換的性質 線性性質 設 x n xrightarrowx e quad y n xrightarrowy e 則 beginax n by n xrightarrow sum ax n by n e a sum x n e b sum y n e ax e by e end 時移性質 設 ...