讓我們暫時先放下上節筆記中迴圈群美麗的性質，來專心看看置換群吧。
不得不說，置換群只是群的表現形式之一，本身不具有特殊的性質。但是，由於置換群所含內容的廣泛性，它可以和其餘所有的群（只能是有限群）形成同構關係（即cayley定理），因此，我們希望通過找到在這種型別的群的研究方法，從而使更多的群可以被研究。而這，便是我們研究置換群的目的所在。
好吧，讓我們現在開始吧。
在討論置換群之前，我們顯然有必要先明確什麼是置換。
有限集s到自身的一一對映稱為置換，一般用
。
顯然，在
對於 注意到，置換
復合，記作
，或 我們稱如下形式的置換為迴圈置換（輪換）：
簡記為
，並稱其
迴圈長度為
時，我們稱之為
對換。
單位置換（恒等對映）也視為迴圈置換，並記為
或 如果兩個迴圈置換
滿足 ，那麼我們稱這兩個迴圈置換
不相交。同時，我們認為單位置換和任何迴圈置換不相交。顯然，不相交的兩迴圈置換滿**換律。（但不是所有滿**換律的置換都不相交）(1)任一置換都可以被唯一分解為不相交的迴圈置換的乘積。
可以採用歸納法，依次找出這些迴圈置換。(2)任一置換都可以被分解為對換的乘積。
只需證明任一迴圈置換都可以被分解為對換的乘積。如果乙個置換等於偶數個對換的乘積，則我們稱之為偶置換。否則我們稱之為奇置換。顯然，偶置換的逆序數為偶數，奇置換的逆序數為奇數。
對於 元有限集
，其元素總可以用
抽象表示。因此，我們在研究置換群時，通常假設
上的所有置換構成群，稱為
級對稱群，記作
同時，
中所有偶置換在對映乘法下同樣組成乙個群，稱為
級交錯群，記為
顯然，我們有
（我們就不考慮
的離譜情況了）
我們稱
的子群為
次置換群。任意
階群必同構於乙個
群。
證明：三次對稱群設 為乙個
階群，
為 上所有置換構成的
次對稱群。
對 ，定義
為 則易於驗證
是 上的乙個置換。記
，那麼
下證 ，即證
是乙個群。
， ，
所以對復合運算封閉。
為一代數系統。又
，則 中
存在單位元。又
，故 中
存在逆元。於是
是乙個群。
最後，我們證明
構造對映
滿足 則
為滿射。又若
，則 於是
為單射，從而
為雙射。又顯然
，即 保持運算。那麼
為一同構對映，也即
證畢。
是階數最小的非交換群。其元素和運算表如下：
三次對稱群的元素
三次對稱群的運算表
我們以後關於非交換群的例子，很多需要借助
這一講暫時先這麼多吧。其實置換群的內容還幾乎沒有發掘，但最基本的概念已經覆蓋完全了。關於置換群的內容，我可能在以後陸續補充。
置換怎麼表示成輪換 置換和輪換（新姿勢，摘自黑書）
這一部分在黑書中，是在群論這一部分介紹的 所以我們先了解什麼是群 群的定義 給定乙個集合g 和集合g上的乙個二元計算 滿足以下四個條件 1 封閉性 若a,b g,則存在唯一確定的c g,使得a b c 2 結合律成立 任意a,b,c g,有 a b c a b c 3 單位元存在 存在e g,對任意...
置換群的習題
題意 給定n,s n,sn,s和排列a1,a2 an a 1,a 2 dots,a n a1 a2 a n 若置換ps ap s a ps a 求置換ppp。考慮先找到排列a aa的迴圈節len lenle n，即a aa置換len s l en len s len len s len次能得到p p...
群及置換群的概念
bolg 設g為乙個元素的集合，稱g內的元素為元，為針對g這個集合的元素的運算，當 g g，滿足以下要求的時候，我們稱 g g，為群封閉性 g內的任何兩個元的 運算的結果仍在g內 交換律 a b c a b c a b c a b c 單位元 任何a e a a e a 逆元 a a 1 ea a ...