一.定義
- **群**
群是啥？？？我不會啊
乙個置換是一種運算，代表讓物體交換位置的一種方法
顧名思義，由置換構成的群
使元素 \(k\) 不改變位置的群的集合
在置換群 \(g\) 作用下元素 \(k\) 的運動軌跡(一些點的集合)
在置換 \(g\) 作用下產生的迴圈
\[|e_k|\times|z_k|=|g|
\]證明：不會
\[l=\frac\sum c_i(c_i表示在置換i下不變的元素個數)
\]由軌道-穩定化子定理可知，|g|可以表示乙個等價類中所有元素的 \(z_k\) 之和
則有$$l\times|g|=\sum_^n|z_i|$$
而根據定義，我們有$$\sum_n|z_i|=\sum_c_i$$
則$$l=\frac\sum c_i$$
\[l=\frac\sum_^m^(m為顏色數)
\]只適用於對顏色沒有位置限制的情況
可以顯然的發現在所有顏色平等的情況下和 \(burnside\) 引理是一樣的
二.例題
[bzoj1851]color有色圖題意描述：一張n個節點的完全圖，用m種顏色給邊染色，對於點編號的交換同構，問有多少種不同的染色方案
查姆講的太好啦群論之神的部落格
置換群的習題
題意 給定n,s n,sn,s和排列a1,a2 an a 1,a 2 dots,a n a1 a2 a n 若置換ps ap s a ps a 求置換ppp。考慮先找到排列a aa的迴圈節len lenle n，即a aa置換len s l en len s len len s len次能得到p p...
群及置換群的概念
bolg 設g為乙個元素的集合，稱g內的元素為元，為針對g這個集合的元素的運算，當 g g，滿足以下要求的時候，我們稱 g g，為群封閉性 g內的任何兩個元的 運算的結果仍在g內 交換律 a b c a b c a b c a b c 單位元 任何a e a a e a 逆元 a a 1 ea a ...
置換怎麼表示成輪換 2 3 置換群
讓我們暫時先放下上節筆記中迴圈群美麗的性質，來專心看看置換群吧。不得不說，置換群只是群的表現形式之一，本身不具有特殊的性質。但是，由於置換群所含內容的廣泛性，它可以和其餘所有的群 只能是有限群 形成同構關係 即cayley定理 因此，我們希望通過找到在這種型別的群的研究方法，從而使更多的群可以被研究...