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b+-樹是有序的，平衡的多叉樹型結構，是資料庫系統中最為通用的索引資料結構。在傳統的關係型磁碟資料庫中，索引結構儲存在磁碟上，磁碟按頁（page）訪問，且隨機訪問時有較高的尋道延時（disk seek latency）。b+樹的結點塊結構適應了磁碟按塊i/o的模式，從而能減少每次資料訪問的i/o代價；針對純記憶體資料庫，b+樹的結點塊結構同樣能適應記憶體和cpu快取記憶體按cacheline互動的模式，從而能相比二叉樹等結構更能充分利用記憶體頻寬，減少cache缺失數量，易於維護。綜合而言，b+樹的多叉結點結構能夠充分適應上世紀磁碟特性，也能一定程度適應現代硬體結構。
那麼，最優的b+樹結點大小，在磁碟上就是乙個磁碟頁嗎，在記憶體中就是乙個cacheline嗎？本文將從針對磁碟，記憶體中的b+樹結構，分析兩種場景下的結點最優大小。
分析採用了以下假設：
分析使用到的符號：
分析過程：
（1）如果每個結點大小為b個頁，那麼每個結點會有
（2）當在n個待索引資料資料上建立索引時，b+樹樹高為
由（1）,（2）可得從b+樹根節點搜尋到葉子結點，如果不考慮緩衝區命中，每次結點路徑遍歷的耗時為：
從函式關係可知
先減少後增大，對
進行求導，得到：
令上述導數為0，得到當
取 的唯一解時，b+樹的效能最優。由於
又和頁大小以及鍵值大小有關，
所以最優的磁碟b+樹結點大小和磁碟旋轉延時、傳輸速率
(傳輸頻寬)、頁大小和鍵值大小有關
。在不同的磁碟硬體下，儲存不同大小的鍵時，最優的結點大小均不同。
實際場景中，假設頁大小為4096b，單個鍵值大小為16b，一般b+樹滿載程度為0.69，參考[4]，此時
約為176，因此粗略估算出
, 即. 如果磁碟旋轉延時為4ms，且傳輸頻寬為500mb/s，則可計算
，這表示結點大小取50個頁大小將使得效能較優。
記憶體中雖然也可將cacheline對等到磁碟頁，但是相比磁碟有以下兩點不同之處：
分析用到以下符號：
由於記憶體b+樹存在兩種結點掃瞄策略：二分查詢和線性查詢策略。前人工作表明，使用小結點時 (結點大小 < 256b )，線性查詢策略能達到更高的效能[5]。但是出於完備性，此處我們都進行分析。
採用二分查詢策略：
（1）二分查詢單個結點時，二分搜尋共需要訪問
個cacheline才能將二分搜尋範圍縮小到單個cacheline，故乙個結點搜尋的時間代價約為
.（2）同樣，當再n個資料上建立b+樹索引時，樹高為
綜合（1），（2）可以得出單次操作的結點遍歷代價:
一般而言，
，故可知
單調遞增，
後遞增幅度較小，所以b取1時效能稍優。
但是從函式關係可以看出，當b較大之時，查詢效能減幅較慢，逼近二分搜尋
。
採用線性查詢策略：
線性搜尋乙個結點時，搜尋平均需要訪問
個cacheline。因此單次操作的結點遍歷代價為：
經過函式單調性分析，同樣發現該函式在[1,
)為遞增函式，且遞增幅度較慢。故同樣可以得出當每個結點採用乙個cacheline大小時最優。
綜合以上兩者，可以得出如下結論：如果忽略cpu代價，記憶體b+樹採用單個cacheline大小能夠達到最優的時間效能，但是記憶體b+樹的時間代價受結點大小影響較小。
在實際場景中，我們發現大部分記憶體b+樹均採用256b (b取4) 或者512b (b取8) 作為常用結點大小，我認為主要有以下三點原因：
（1）每個結點需要額外的空間維護代價以及訪問時的固定cpu代價。
（2）現代處理器存在一定cache預取機制，它能夠隱藏訪問臨近cacheline的時間代價。
（3）單cacheline結點儘管訪問代價稍低，但是在插入負載容易頻繁觸發鍵值移動，結點**，容易造成額外代價。
歡迎交流指正，謝謝！
[1]. r. bayer and e. m. mccreight, 「organization and maintenance of large ordered indexes,」 sigfidet workshop, pp. 107–141, 1970.
[2]. j. gray and g. graefe, 「the five-minute rule ten years later, and other computer storage rules of thumb,」 special interest group on management of data record, vol. 26, no. 4, pp. 63–68, 1997.
[3]. latency numbers every programmer should know,
[4]. y. theodoridis, e. stefanakis, t. sellis, efficient cost models for spatial queries using r-trees. ieee tkde, 12(1), pp. 19-32, 2000
[5]. stx b+ tree revisiting binary search - panthema.net,
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