試題 演算法訓練 擺動序列

問題描述

如果乙個序列滿足下面的性質，我們就將它稱為擺動序列：

1. 序列中的所有數都是不大於k的正整數；

2. 序列中至少有兩個數。

3. 序列中的數兩兩不相等；

4. 如果第i – 1個數比第i – 2個數大，則第i個數比第i – 2個數小；如果第i – 1個數比第i – 2個數小，則第i個數比第i – 2個數大。

比如，當k = 3時，有下面幾個這樣的序列：

1 21 3

2 12 1 3

2 32 3 1

3 13 2

一共有8種，給定k，請求出滿足上面要求的序列的個數。

輸入格式

輸入包含了乙個整數k。（k<=20）

輸出格式

輸出乙個整數，表示滿足要求的序列個數。

樣例輸入

3樣例輸出

8思路：

從題目中我們獲得了幾個關鍵點，就是使用者輸入的值表示k的值，然後讓1到k的值組出題目要求的擺動序列，我們知道組成一組時一組不可以有重複的數，也要滿足序列個數至少為2。然後在滿足 如果第i – 1個數比第i – 2個數大，則第i個數比第i – 2個數小；如果第i – 1個數比第i – 2個數小，則第i個數比第i – 2個數大。

我們知道當序列個數至少為2時那麼k的值必須大於等於2，那麼序列的個數一定是小於等k的。所以我們可以建立乙個dp[i][j] i表示序列中的數字個數，j表示k的取值.那我們可以知道當j=2時 對應k的滿足上面要求的序列的個數。dp[i][2]=i*(i-1) (i表示對應的k的值)當我們初始化後就是求對應dp的滿足上面要求的序列的個數。

我們dp[i][j]可以把k的上乙個數的對應種數算到裡面去，這種是當沒有加當前k的這個值的序列個數，那我們要加當前k的數那麼就應該找k-1的數在j-1裡面的序列個數就是加當前k有可能組出的擺動序列。那麼轉移方程就是：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]

程式：

n=

int(
input()
)dp=[[
0for i in
range
(n+2)]
for i in
range
(n+2)]
for i in
range(2
,n+1):
dp[i][2
]=i*
(i-1
)#初始化把以知結果填進去
for i in
range(3
,n+1):
#當前的k
for j in
range(3
,i+1):
#當前序列中的個數
dp[i]
[j]=dp[i-1]
[j]+dp[i-1]
[j-1
]#考慮不加當前i的數和加當前i的數的總和 （i表示當前k的範圍值）
print
(sum
(dp[n]
))

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