Welzl演算法求最小圓覆蓋

給定平面上的n

nn個點，求乙個最小的圓使得所有的點都落在圓內。

zl

welzl

welz

l演算法的作用。其期望複雜度可以達到o(n

)o(n)

o(n)。wel

zl

welzl

welz

l演算法的正確性基於乙個定理：

定理：對於平面上任意n

nn個點，在其最小覆蓋圓外取第n+1

n+1n+

1個點。那麼第n+1

n+1n+

1個點一定在這n+1

n+1n+

1個點的最小覆蓋圓上。

有了這個定理，就可以進行wel

zl

welzl

welz

l演算法了。先取3個點建立乙個圓(不共線的三個點能確定乙個圓，如果共線就取距離最遠的兩個點作為直徑建立圓)，然後遍歷剩下的所有點，對於乙個遍歷到的點kkk：

寫成**就是：

// a 存放需要求最小圓覆蓋的所有點，n 為點的數量

// radius 為圓半徑，center為圓心，都是全域性變數
// point_in 函式判斷乙個點是否在最小覆蓋圓內
// circle_center 函式有兩個過載，乙個用兩個點確定圓，乙個用三個點確定圓
// dist 函式計算距離
void
min_circle_cover
(point a,
int n)}}
}}}}

只要呼叫min

_cir

cle_

cove

rmin\_circle\_cover

min_ci

rcle

_cov

er之前呼叫ran

dom_

shuf

fl

erandom\_shuffle

random

_shu

ffle

隨機排列一下，就可以保證期望線性複雜度。

這裡給乙個完整**（洛谷p1742的ac**）：

#include

using
namespace std;
const
int maxn =
1e5+10;
const
double eps =
1e-8
;int
cmp(
double x)
struct point 
point
(double a,
double b):x
(a),
y(b)
friend point operator-(
const point& a,
const point& b)
double
norm()
}p[maxn]
;double
dist
(const point& a,
const point& b)
void
circle_center
(point p0, point p1, point& cp)
void
circle_center
(point p0, point p1, point p2, point& cp)
double radius; point center;
bool
point_in
(const point& p)
void
min_circle_cover
(point a,
int n)}}
}int
main()
random_shuffle
(p, p + n)
;min_circle_cover
(p, n)
;printf
("%.10lf\n%.10lf %.10lf"
, radius, center.x, center.y)
;return0;
}

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