回溯法演算法框架及應用

在包含問題的所有解的空間樹中，按照深度優先搜尋策略，從根節點出發搜尋解空間樹。

活結點：自身已生成但其孩子結點沒有全部生成的結點

擴充套件結點：指正在產生孩子結點的結點，e結點

死結點：指其所有結點均已產生的節點

首先根節點成為活結點，同時也成為當前的擴充套件結點

在當前的擴充套件結點處，搜尋向縱深方向移至乙個新結點。這個新結點就成為新的活結點，並成為當前擴充套件結點。如果在當前擴充套件結點處不能在向縱深方向移動，則當前擴充套件結點就成為死結點。此時應往回移動（回溯）至最近的乙個活結點處，並使這個結點成為當前可擴充套件結點。

回溯法：以這種方式遞迴地在解空間中搜尋，直到找到所有要求的解或解空間中已無活結點為止。

當從狀態si搜尋到s i+1後，s i+1變為死結點，則從狀態s i+1回退到si，再從si找其他可能路徑

若用回溯法求問題的所有解，需要回溯到根節點，且根節點的所有可行子樹都已被搜尋完才結束。若用回溯法求問題的任一解，只要搜尋到問題的乙個解就可以結束。

由於採用回溯法求解時存在退回到祖先結點的過程，所以需要儲存搜尋過的結點。通常有兩種方法，

其一是用自定義棧儲存祖先結點；

其二是採用遞迴法，因為遞迴呼叫會將祖先結點儲存到系統棧中，在遞迴呼叫返回時自動回退到祖先結點。

另外，用回溯法搜尋解空間時通常採用兩種策略避免無效搜尋，以提高回溯的搜尋效率，

法一：用約束函式在擴充套件結點處減除不滿足約束條件的路徑；

法二：用限界函式減去得不到的問題解或最優解的路徑

上述兩種方法統稱剪枝函式。

1.針對對給定的問題的解空間樹，問題的解空間樹應至少包含問題的乙個解或者最優解。

2.確定結點的擴充套件搜尋規則

3.以深度優先方式搜尋解空間樹，並在搜尋過程中可以採用剪枝函式來避免無效搜尋。其中，深度優先方式可以選擇遞迴回溯或者迭代（非遞迴）回溯。

設問題的解是乙個n維向量（x1，x2，…,xn），約束條件是xi滿足某種條件，記為constraint(xi)；限界函式是xi應滿足某種條件，記為bound（xi），回溯法的演算法通常分為非遞迴回溯框架和遞迴回溯框架

i：對應解空間的第i層的某個結點

int x[n]
; //x存放解向量，全域性變數 
void backtrack(int n)}}
else //不存在子結點，返回上一層，即回溯 
i--;
}}

回溯法是對解空間的深度優先搜尋，因為遞迴演算法中的形參具有自動回退（回溯）的能力，所有許多回溯設計的演算法都設計成遞迴演算法，比同樣的非遞迴演算法設計起來更加簡便。

其中，i為搜尋的層次（深度），通常從0或1開始，分兩種情況：

（1）解空間為子集樹

一般地，解空間為子集樹的遞迴回溯框架如下：

int x[n]
; //x存放解向量，全域性變數 
void backtrack(int n)
}}

採用上述演算法框架需注意以下幾點：

（1）i從1開始呼叫上述回溯演算法框架，此時根結點為第1層，葉子結點為第n+1層，當然i也可以從0開始，這樣根結點為第0層，葉子結點為第n層，所以需要將上述**中的

if(i>n)
改為if(i>=n)

（2）在上述框架中通過for迴圈使用j列舉i的所有可能路徑，如果擴充套件路徑只有兩條，可以改為兩次遞迴呼叫（例：求解0/1揹包問題、子集和問題等）

（3）這裡回溯框架只有 i 這乙個引數，在實際應用中可以根據情況設定多個引數。

例：在乙個含有n個整數的陣列a，所有元素均不相同，設計乙個演算法求其所有子集（冪集）

例如：a[ ]=,所有子集是{}，，，，，，，

思路：採用回溯法

問題的解空間為子集樹，每個元素只有兩種擴充套件，要麼選擇，要麼不選。

採用深度優先搜尋思路，解向量為x[ ],x[i]=0表示不選擇a[i]。用i掃瞄陣列a，也就是說問題初始狀態是（i=0，x的元素均為0），目標狀態是（i=n，x為乙個解）。從狀態（i，x）可以擴充套件出兩個狀態。

（1）不選擇a[i]元素——>下乙個狀態為（i+1，x[i]=0）

（2）選擇a[i]元素——>下乙個狀態為（i+1，x[i]=i）

這裡i總是遞增的，所以不會出現狀態重複的情況。

法一：標準解向量**：

#include
#include
#define maxn 100
void dispsolution(int a[
],int n,int x[
]) //輸出乙個解")
;} void dfs(int a[
],int n,int i,int x[
]) //用回溯法求解解向量x } 
void main(
); //s[0 ... n-1]為給定的字串，設定為全域性變數
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
int x[maxn]
; //解向量 
memset(x,0,sizeof(x))
; //解向量初始化 
printf(
"求解結果\n");
dfs(a,n,0,x)
; printf(
"\n");
}

法二：不採用標準解向量，直接求結果

#include
#include
using namespace std;
void dispsolution(vector < int > path) //輸出乙個解")
;} void dfs(int a[
],int n,int i,vector < int > path) //用回溯法求子集path } 
int main(
); //s[0 ... n-1]為給定的字串，設定為全域性變數
int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
vector< int > path;
printf(
"求解結果\n");
dfs(a,n,0,path)
; printf(
"\n");
}

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