【題目描述】
給定n個數，求這n個數的最長上公升子串行的長度。
【樣例輸入】
2 5 3 4 1 7 6
【樣例輸出】
下面記錄本人對 「貪心 + 二分」 【o(nlogn)】 演算法的一些理解。
1）介紹解題過程
2）分析解法可行性
不想聽廢話，請直接移步 第四部分 ：「4 操作的意義」，演示該操作的效果與意義。
（貪心）對於乙個上公升子串行，顯然其結尾元素越小，越有利於在後面接其他的元素，也就越可能變得更長。
現建立乙個新陣列 b[ ], 用來存放：考慮到第 i 個元素時，我們所獲得的當前lis。(b 下標從 1 開始)
例如：2 5 3 4 1 7 6
考慮到a[1], b = [2]
考慮到a[5], b = [2,5]
考慮到a[3], b = [2,3]
考慮到a[4], b = [2,3,4]
…對於乙個上公升子串行，顯然其結尾元素越小，越有利於在後面接其他的元素，也就越可能變得更長。
因此，對於每乙個a[ i ]，如果a[ i ] > b[len(b)]，就把 a [ i ]接到 b 後面，即 b[++len(b)] = a [ i ] (易得這是求嚴格遞增)。
如果 a[ i ] <= b[len(b)] ,就用 a [ i ] 取更新 b 陣列。
具體方法是，在 b 陣列中找到 「第乙個大於等於」 a [ i ]的元素 b [ j ]，用a [ i ]去更新 b[ j ]。
如果從頭到尾掃一遍 b陣列的話，時間複雜度仍是o(n^2)。我們注意到 b陣列內部一定是單調不降的(因為 b 陣列是我們獲得的，當前的lis)，所有我們可以二分b陣列，找出第乙個大於等於a[ i ]的元素。二分一次 b陣列的時間複雜度的o(lgn)，所以總的時間複雜度是o(nlogn)。
為什麼可以這樣做？
把下標大的元素，放到了下標比它小的元素的前面，不會有問題嗎？
情況1：a[ i ] > b[len(b)]
顯然，直接加到 b 陣列後面，lis 長度 +1.
情況2：a[i] <= b[len(b)]
按照上述做法，應在 b 陣列中找到，第乙個不小於它的元素，並用a[i] 替換之。
例如：假設有
b = [2,4,6,8],
假設當前 a[i] = 5,按條件在 b 中找到元素 『4』 ,並替換之，得：
b = [2,4,5,8]
證明替換的可行性：
可以看到，替換之後，只有被替換的位置的元素值改變了，剩餘的並沒有受到影響，並且，b 依舊保持了遞增排序，且長度沒有改變，這是最重要的一點。
我們要求的是 最長上公升子串行 的最大長度 => 即 b 的最大長度。
在遍歷 a 陣列的過程中， b 表示 當前獲得的 lis， b 的長度即為當前的 最長上公升子串行的長度。既然替換之後，b 的長度沒有變，=> 當前最長上公升子串行的長度沒有變 => 沒有改變子問題的結果（雖然b 儲存的不是真正的 lis 序列，但我們最後要得到的是乙個 長度，b 變化只要不改變長度，也就不會改變答案）。
b 陣列發生替換之後，其又有了新意義： b 的長度表示，曾經一定有乙個合法的序列 x = ，使得 遍歷到當前位置時的lis 的長度 len(b) = len(x)。也就是說，b 的長度，一定是由乙個合法的狀態推過來的。
以上證明了，進行替換不影響最終結果。
可這樣替換有什麼意義呢？
接著上述例子
b = [2,4,5,8,10]
現在假設 a = […6,7,8…]
①開始判斷 a 中的元素 『6』, 按照上述做法，6 < b[len(b) = 5] = 10 ,（10是插入 b 的門檻）；比 6 大的有： 8 、10，則替換 8，得：
b = [2,4,5,6,10]
②開始判斷 a 中的元素 『7』, 按照上述做法，7 < b[len(b) = 5] = 10 ,（10是插入的門檻），比 6 大的有： 10，則替換 10，得：
b = [2,4,5,6,7]
③開始判斷 a 中的元素 『8』, 按照上述做法，8 > b[len(b) = 5] = 7 ,（7是插入的門檻），則插入，得：
b = [2,4,5,6,7,8]
注意，通過 『6』 的替換，本來比 『7』大的有 『8』
『10』 ,替換成 『6』 後，比 『7』大的只有 '10』了，那麼 『7』 替換 『10』後，插入 b 陣列的門檻由 『10』 變成了 『7』。如果前面不替換 『6』，則 『7』 只能替換 『8』，不能替換 『10』，則沒有降低門檻。
再來看，如果在①②中，不做替換：
①開始判斷 a 中的元素 『6』, 按照上述做法，6 < b[len(b) = 5] = 10 ,無法插入，保持不變，得
b』 = [2,4,5,8]
②開始判斷 a 中的元素 『7』, 按照上述做法，7 < b[len(b) = 5] = 10 ,無法插入，保持不變，得
b』= [2,4,5,7]
②開始判斷 a 中的元素 『8』, 按照上述做法，7 < b[len(b) = 5] = 10 ,無法插入，保持不變，得
b』= [2,4,5,7]
顯然 len(b』) < len(b)
通過觀察可以發現，經過我們的替換，將更小的數替換掉 b 陣列中第乙個不小於它的數（即替換掉不改變 b 遞增性質的數），使得，在判斷後續元素過程中，本來無法加入 b 陣列的元素，經前面的替換操作後，滿足了插入的條件，可以插入。因為插入可以使得 b 陣列的長度增長，而替換不改變 b 的長度，所以我們要盡可能的創造出後續元素可插入的條件。
那麼這個替換操作，其實就是創造這個條件。
用新數去更新前邊的元素，這個元素可能不是最優解的一部分，但是它可以使得後面還未加入的、比較小的數更有可能進入這個陣列b。通俗地來說，作為門檻，他本來要大於當前序列的最後乙個數才能加進去；就是如果我太大了，我就乖乖呆在末尾；如果前面有乙個數比我大，也就是我比你好，既然我在你後面也就是我們兩者只能選其一，那我只好把你替換掉了。雖然我這臨時臨頭換的不一定最合適，但是對於後面還有很多的人等著排進來的情況下，我給他們創造了更多機會，使得這個序列的最後乙個數有可能變小，讓更多的人進來。
int a[max]
;//a存放原始陣列，
int dp[max]
;//maxlen存放以該元素為中點的最長子序列的長度
int b[max]
;int blen;
intmain()
//初始化
// 複雜度 o(n`2)
for(
int i =
1; i <= n;
++i)
for(
int j =
1; j < i ;
++j)
cout<<
*max_element
(dp+
1,dp+
1+n)
for(
int i =
1;i <= n;
++i)
} cout<}
最長上公升子串行O NlogN 演算法
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最長上公升子串行 O nlogn
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