通過這幾天對平面向量的研究，我是越來越有興趣了，因為平面向量讓我開拓眼界，給我乙個新的認知角度來看待世界，「問題是最好的老師」，我講通過自己提出問題，來進行解決和總結，讓自己對平面認識深刻和更好利用。
一、抽象能力：
抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特徵而捨棄其非本質的特徵.例如蘋果、香蕉、生梨、葡萄、桃子等,它們共同的特性就是水果.得出水果概念的過程,就是乙個抽象的過程。平面的抽象是把以前平面只有大小沒有方向的數量，把大小和方向不相關的兩個概念進行抽象，抽象成在二維平面內既有方向又有大小的量這就是平面向量。向量是如何相等的？
長度相等且方向相同的兩個向量叫做相等的向量。即：若向量a與向量b相等，則記作向量a=向量b，相等向量互相平行，任意兩個相等的非零向量都可以用同一有向線段來表示，並且與有向線段的起點無關。把沒有長度的0，抽象成了零向量，零向量的方向與任一向量平行，垂直。零向量可以有很多方向，卻只有乙個長度，我們可以把大家公認的長度，抽象為單位長度，我們在平面向量裡抽象為單位向量。單位向量是指模等於1的向量。由於是非零向量，單位向量具有確定的方向。單位向量有無數個。乙個非零向量除以它的模，可得所需單位向量。乙個單位向量的平面直角座標系上的座標表示可以是：(n,k) ，則有n²+k²=1。
二、高維思考
例如：大家都知道什麼是「畫地為牢」。就是你在一張紙上畫乙隻老虎，然後你想困住它，怎麼弄？哈哈，畫地為牢，你只要在紙上畫上乙個牢，把紙裡的老虎困住就行了。為什麼老虎走不出來？因為在一張紙的二維平面裡面，沒有「高」這個概念。正因為如此，老虎才被人畫牢所困。那麼三維的老虎呢？三維的老虎需要真正的籠子，因為二維的牢困住二維的虎，三維的虎當然要用三維的牢才可以困住。也就可以說，二維的牢困不住三維的虎，因為三維的虎比二維的虎多出乙個「高」來。就是說，在維度上，我們可以認為三維比二維高階。
在平面向量方面我們就可以把方向與長度做為整體來進行考慮，把兩個不想關的概念「方向」和「長度」抽象成乙個整體為平面向量。對方向和長度我們可以利用平面向量的維度來考慮，如果沒有沒有學習過平面向量，我們就沒有這個維度來認知長度和方向的統一。我們在生活中整體考慮有好多，方向：我們常見的方向有上北下南，左西又動，北偏西多少度。南偏西多少度等等可以利用這些來表示方向，但是我們可以把這些表示都可以看成乙個整體，什麼是不變的，在這裡「方向就是不變的」所以我們可以把方向看做成乙個整體。面積：正方形的面積，三角形的面積，圓形的面積，我們都不用考慮他的公式，我們可以把他們做成乙個整體來看，他們的面積就是乙個整體。數字也可以作為乙個整體，不管你是無理數還是有理數，他都是乙個數，乙個數除以乙個數都會得到乙個數。速度：只要你動了一定會出現乙個距離和時間，這樣我們就得到了乙個速度。不管你是走的，還是坐車，還是坐飛機他們都是速度。
我大膽的猜測一下只要是比的話，我們都可以看成是整體，比出來的東西有乙個是不變的。
三、平面向量三角形、四邊形法則
什麼是平面向量三角形法則：ab+bc=ac，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則，首尾相連、連線首尾、指向終點。
什麼是平面向量四邊形法則：已知兩個從同一點a出發的兩個向量ac、ab，以ac、ab為鄰邊作平行四邊形acdb，則以a為起點的對角線ad就是向量ac、ab的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，共起點 對角連。
平面向量三角形和平面四邊形法則是如何轉換的：它是一種共點力的合成法則．這一法則通以表示兩個共點力的有向線段為鄰邊作一平行四邊形，該兩鄰邊之間的對角線即表示這兩個力的合力的大小和方向．有時為了方便也可以只畫出一半的平行四邊形,也就是力的三角形法則.即把兩個共點力中的乙個平移,使它們首尾相接,再用一條線與兩個力連線成乙個三角形,第三邊就是合力. 三角形定則與平行四邊形定則的實質是一樣的。
三角形法則和平行四邊形法則的思想含義：把數學和物理等學科統一起來了，如可以利用具有幾何意義的複數運算來定義向量的運算，把座標平面上的點用向量表示出來，並把向量的幾何表示用於研究幾何與三角問題，利用三角形和平面四邊形法則多了一種角度，看問題更簡單了，把複雜的問題變成簡單的問題，更容易解決。
四、多向量為什麼可以只分解為兩個正交分量：
其實把平面向量進行正交分解的目的就是為了進行座標運算。設i，j表示平面直角座標系裡的標準正交基（滿足i⊥j，並且|i|=|j|=1，也就是說i，j是單位正交向量組）。這樣任意乙個向量a可以分解為如下形式：a=xi+yj，其中(x,y)就是向量a在以i，j為基的平面內的座標。顯然x和y就是a在i，j方向上的投影，因此x=|a|cos,y=|a|cos。在進行向量運算的時候可以省去基向量，這樣向量的運算也就轉化成了座標的運算。這也可以看出，選取的基不同，a分解後的結果也不同，因此平面向量的正交分解不是唯一的。再深入研究標準正交基的性質，若是xi+yj=0，則一定可以得到x=y=0，也就是說i和j是線性無關的。因此對於任意一組線性無關的向量α和β均可以進行運算使其變為單位正交向量。這個過程就是施密特正交化。施密特正交化不僅可以在平面向量中應用，還可以在n為線性空間中應用。
正交分解帶來的啟迪：1.力是向量f′在x軸y軸上的分向量f′x和f′y是向量，分量為正值表示分向量的方向跟座標軸的方向相同，分量為負值表示分向量的方向跟座標軸的方向相反。2．確定向量正交分量的座標軸，不一定是取豎直方向和水平方向。例如，分析物體在斜面上的受力情況，一般選取x軸與斜面平行，y軸與斜面垂直。座標軸的選取是以使問題的分析簡化為原則。通常選取座標軸的方法是：選取一條座標軸與物體運動的加速度的方向相同（包括處理物體在斜面上運動的問題），以求使物體沿另一條座標軸的加速度為零，這樣就可得到外力在該座標軸上的分量之和為零，從而給解題帶來方便。3、正交分解是先將線性方程組ax=b的係數矩陣a分解為乙個正交矩陣q和乙個對角可逆上三角矩陣r的乘積。然後通過求解上三角方程組rx=qb而求得原方程組的解，這種方法一般比三角分解法運算量大，但數值穩定性較好。
五、有了向量的認知的能力，思考是如何飛翔的
1、我們在一開始當學習向量的時候，我們一定接觸到了很多新的知識點，如果在沒有網際網路下，在老師講課下，我們只能學習向量的本身知識，而不能學習到向量帶來的思想，我們首先對平面向量有乙個基本認識，在學習平面向量過程中，我們不僅要注重平面向量的結論，我們更要注重學習平面向量過程，我們要在向量裡面學習的思想挺多，我們要把這些思想應用起來。
2、平面向量是解決數學問題的一種基本工具，在運用向量法處理函式問題、三角問題，函式問題時，給傳統的解法注入了新的活力，為數學中的推理、運算開闢了新的途徑，實現了幾何的代數化，為數和形的結合做了很好鋪墊，而且運用向量法解題在知識的聯絡、轉化和問題的解決過程中有著其他知識點難以啟迪的優勢，由於向量這一新的視角，進一步擴寬了思維的渠道，要從思想方法上研究平面向量的實質，修復原有的認知。
3、平面向量與其它知識的聯絡較多，特別是三角、解析幾何、立體幾何、複數等。平面向量既有代數形式又有幾何意義，對於一道平面向量的問題，我們不僅僅可以利用代數方法又可以從幾何方法的角度考慮。
4、平面向量中有著豐富的數學思想方法，在解決有關向量問題時，我要是能統分運用這些數學思想方法，可使許多問題獲得簡潔、巧妙解決。1、方程思想2、樹形結合思想就是將抽象數學語言與直觀、具體的圖形結合起來，通過數與形的相互轉化，達到化難為易，化繁為簡的目的。3、分類討論就是由於某種原因使得所給物件不能進行統一研究時，對研究物件進行分類討論，然後對每一類結果分別研究，得出每一類結論，分類討論實質上是一種「化整為零，各個擊破」。
5、平面向量給我乙個新的角度去認知世界，讓我去開闊眼界，讓我提公升了乙個維度，不在侷限，有了平面向量的維度我可以發現更多有趣的事，更可以去創造。
平面向量基底
平面上，任意向量a 包括零向量 均可用兩個非零向量 e1 e2 表示，即a xe1 ye2 x y為任意實數 這就是 平面向量基本定理的主要內容。這裡用來表示向量a的兩個非零向量e1 e2就稱為向量a的一組基底。注意以下幾個方面的要點 1 作為基底的向量不能是零向量，即e1 0 e2 0 這裡0指零...
平面向量學習
平面向量的實際背景及基本概念 1.了解向量的實際背景 2 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義 3 理解向量的幾何表示 向量的線性運算 1.掌握向量加法 減法的運算，並理解其幾何意義 2 掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義 3 了解向量線性運算的性質及其幾何意義 平面向量的...
OpenGL C 求兩向量角平分線
設兩向量分別為oa vec oa和o b vec ob，起點均在o oo點。將o a vec oa和o b vec ob單位化，假設求得單位向量分別為 a vec a和b vec b。則a vec a b vec b即為角平分線所在向量。主要 注意 函式最後返回的是角平分線所在向量，起點在中心點o ...