矩陣快速冪優化遞推總結

2022-01-29 15:55:10 字數 1017 閱讀 5465

rt,主要總結一下矩陣的求法。

首先能用矩陣快速冪優化的遞推型別是f[n]=5f[n-3]+6f[n-2]+2f[n-1]+n^2+n+8之類的

也就是說遞推是線性遞推且f[n-i]前面的係數是常數,可以含有與n有關的多項式,也可以含有常數的這種遞推,下面總結一下矩陣的寫法:

先考慮最簡單的常數,我們其實可以忽略常數,因為頂多在沒有常數的矩陣外面加一行一列就行了

以f[n]=2f[n-1]+6f[n-2]+5f[n-3]+n^2+n為例

先寫迭代的矩陣,一般可以寫成一行,右邊有幾項寫幾項

如果這麼寫的話,那肯定數字矩陣是5*5的(因為1*5矩陣乘5*x矩陣等於1*5矩陣,那麼肯定x=5)

不過發現這樣不行,為什麼呢?因為n^2和n不能通過簡單的數字的四則運算得到(n+1)^2和n+1,但我們可以這樣寫

2 1 0 0 0 0 0 0

6 0 1 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 0 1 2 0 1

=怎麼想到的呢??從n^2->(n+1)^2和n->n+1入手,(n+1)^2-n^2=2n+1,所以便有了後面的2n項和1項,n+1-n=1,所以便有了後面的1項。(其實多出的2n也要考慮,只不過有了1項,所以就融入在裡面了。)

當然以上的不是最簡單的,還可以化簡,不過這是一種構造方法啦= =

考慮加上常數8,就輕輕鬆鬆寫出:

2 1 0 0 0 0 0 0 0 

6 0 1 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 2 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

=

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