最小生成樹演算法

問題描述：

生成樹：在乙個任意連通圖g中，如果取它的全部頂點和一部分邊構成乙個子圖g'，即：v(g')=v(g)和(g')⊆e(g)。若子圖g'同時滿足邊集e(g')中的所有邊既能夠使全部頂點連通而又不形成任何迴路，則稱子圖g'是原圖g的一棵生成樹。

乙個任意連通圖g=(v,e)的生成樹g'=(v,e』)，那麼 |e'| = |v| - 1。

要證明這一特點有許多角度，例如：

加權連通圖g的最小生成樹：在所有的g的生成樹t中，使得邊的權值之和最小的生成樹。

輸入：無向連通圖g=(v, e),權函式w

輸出：g的最小生成樹

kruskal()演算法與prim()演算法的差別以及聯絡：

kruskal()演算法與prim()演算法都是每次選取最小的邊，不過kruskal()演算法是滿足條件的邊，而prim()演算法選取點，依次選取離當前點集合最近的點。

演算法1：kruskal()演算法

演算法描述：

1. 確定貪心思想

其實求g的最小生成樹就是求最小生成樹的邊集，依照下述思想構建最小生成樹的邊集s：

2. 分析貪心選擇性。

引理1：設uv是g中權值最小的邊，則必有一棵g的最小生成樹包含邊uv。

證明：如果不存在這樣的乙個最小生成樹，那麼可以設：設t是g的的某棵最小生成樹，且uv不在t中，那麼，在t中新增uv邊，產生環，刪除環中不同於uv的任意邊xy,得到t '。w(t ')=w(t ) - w(xy) + w(uv) ≤ w(t)，而t是g的的某棵最小生成樹，矛盾，假設不成立。

3.分析優化子結構

定義1：收縮略圖g的邊uv，即用新頂點c代替頂點u,v，同時，將g中原來與u或v關聯的邊與c關聯，刪除c到其自身的邊。記作g·uv。而將上述操作的逆操作稱為擴張，記作g.uv。

定義2：任意樹的權值記為w(t)，w(t) = ∑(u,v)∈vw(u,v)，w(i,j)是邊ij的權值。

引理2：給定加權無向連通圖g=(v,e),權值函式為 w:e→r, uv是g中權值最小的邊。設t是g的最小生成樹，那麼t·uv就是圖g·uv的最小生成樹。

證明：如果g.uv不是圖g.uv的最小生成樹。那麼一定存在樹m是g.uv的最小生成樹，那麼w(m.uv) = w(m) + w(u,v)，而w(t) = w(t·uv) + w(u,v)。而w(t·uv) > w(m)，故而w(t) > w(m.uv)。這與t是g的最小生成樹矛盾，故而假設不成立。

4.分析演算法正確性

其貪心選擇性就是按照該演算法思想構造解的數學歸納證明，使用引理1，引理2可以得到證明。此問題的解的構造不若任務安排問題可以進行很好的形式化，就不展開說明。

5.設計演算法

根據貪心思想設計演算法。

mst-kruskal(g,w)
a = null;
for 任意的v屬於v[g] do
make-set(v); /*為每個點構建並查集*/
按照w值的遞增順序排序e[g];
for 任意(u, v)屬於e[g] (按w值的遞增順序) do
if find-set(u) != find-set(v) 
/*u,v不在乙個並查集中，說明此時構建的樹中，二者之間不存在路*/
then a=au; 
union(u, v);
return a

6.演算法複雜性分析：時間複雜性分析：

令n=|v|, m=|e|，那麼

第3~4行執行 o(n) 個make-set操作。第6~10行執行o(m)個find-set和union 操作。共需要時間o((n+m)α(n))。

而由於m ≥ n-1 (連通圖)，故而 α(n)=logn=logm。這裡需要使用到並查集的平攤分析。

總的時間複雜度為 o(mlogm)。

演算法2：prim()演算法

演算法描述：

1. 確定貪心思想

其實求g的最小生成樹就是求最小生成樹的邊集，依照下述思想構建最小生成樹的邊集s：

2. 分析貪心選擇性。

引理1：設uv是g中與頂點u關聯的權值最小的邊，u為任意頂點，則必有一棵g的最小生成樹包含邊uv

證明：如果不存在這樣的乙個最小生成樹，那麼可以設：t是g的的某棵最小生成樹，且uv不在t中，那麼，在t中新增uv邊，產生環，刪除環中不同於uv的任意邊uv ',由於uv不在t中，故而一定存在uv 。得到t '。w(t ')=w(t ) - w(xy) + w(uv) ≤ w(t)，而t是g的的某棵最小生成樹，矛盾，假設不成立。

3.分析優化子結構

引理2：給定加權無向連通圖g=(v,e),權值函式為 w:e→r, uv是g中與u關聯的權值最小的邊，u為任意頂點。設t是g的最小生成樹，那麼t·uv就是圖g.uv的最小生成樹。

證明：如果g·uv不是圖g.uv的最小生成樹。那麼一定存在樹m是g.uv的最小生成樹，那麼w(m.uv) = w(m) + w(u,v)，而w(t) = w(t·uv) + w(u,v)。而w(t·uv) > w(m)，故而w(t) > w(m.uv)。這與t是g的最小生成樹矛盾，故而假設不成立。

4.分析演算法正確性

5.設計演算法

根據貪心思想設計演算法。

mst-prim(g,w,r)
input 連通圖g，權值函式w，樹根r
output g的一棵以r為根的生成樹
c = ，t = null;
建堆q維護c與v-c之間的邊
while c != v do
uv=extract_min(q) //u屬於c,v不屬於v-c
c = c u;
t = t u;
for 任意的x屬於adj[v] do /*adj[v]是與v之間存在邊的頂點集*/
if x屬於c then 將vx從q中刪除
else 將vx插入q
return t

使用二叉最小堆來進行具體的撰寫，我看不懂。

mst-prim(g,w,r)
input 連通圖g，權值函式w，樹根r
output g的一棵以r為根的生成樹
for 任意的v屬於v[g] do
key[v] = 無窮；
π[v] = null；
key[r] = 0;
q = v[g];
while q != null do
u = extract_min(q);
for 任意的v屬於adj[u] do /*adj[v]是與v之間存在邊的頂點集*/
if v屬於q 且 w(u,v)

6.演算法複雜性分析：

對於該問題的拓展思考

最小生成樹演算法

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演算法 最小生成樹

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