數字dp 模板 老年康復

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「在資訊學競賽中，有這樣一類問題：求給定區間中，滿足給定條件的某個d 進製數或

此類數的數量。所求的限定條件往往與數字有關，例如數字之和、指定數碼個數、數的大小

順序分組等等。題目給定的區間往往很大，無法採用樸素的方法求解。此時，我們就需要利

用數字的性質，設計log(n)級別複雜度的演算法。解決這類問題最基本的思想就是「逐位確定」

的方法。下面就讓我們通過幾道例題來具體了解一下這類問題及其思考方法。」——劉聰

事實上，為什麼會想到用數字dp來做，就是因為限定條件往往和數字有關，而仔細地樸素的暴力方法中，所做的重複的工作太多。這樣的條件會使得dp（記憶化搜尋）有用武之地。

比如如果我們要統計[0,54321]中滿足某個條件的個數，需要將其拆分為

[00000,09999][10000,19999],[20000,29999],[30000,39999],[40000,49999]，

[50000,50999],[51000,51999],[52000,52999],[53000,53999]，

[54000,54099],[54100,54199],[54200,54299]，

[54300,54309],[54310,54319]，

[54320,54321]

為什麼要這麼分呢？隨便舉個例子，如果我們統計過了[0000,9999]中的滿足條件（或者其他各種不滿足條件的狀態）的個數，那麼分別在加上字首，就可以判斷出有多少個滿足條件的個數。目的是為了將大的區間劃分為小的區間進行求解。

因此，總結一句話，數字dp減少的運算量為：前面幾位固定，後面幾位可以任意取的個數統計。

模板：

1 typedef long

long
ll;2
int a[20
];3 ll dp[20][state];//
不同題目狀態不同
4 ll dfs(int pos,/*
state變數
*/,bool lead/*
前導零*/,bool limit/*
數字上界變數
*/)//
不是每個題都要判斷前導零525
//計算完，記錄狀態
26if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;
27/*
這裡對應上面的記憶化，在一定條件下時記錄，保證一致性，當然如果約束條件不需要考慮lead，這裡就是lead就完全不用考慮了
*/28
return
ans;29}
30ll solve(ll x)
3138
return dfs(pos-1
/*從最高位開始列舉
*/,/*
一系列狀態 
*/,true,true);//
剛開始最高位都是有限制並且有前導零的，顯然比最高位還要高的一位視為0嘛39}
40int
main()
4148 }

練手題目1：戳這裡

題意：求1-n內有多少個數滿足各位之和整除該數。

解題思路：數字dp，列舉各位之和。

附ac**：

1 #include2 #include3 #include4 #include

5 #include
6using
namespace
std;
7 typedef long
long
ll;8
int a[22
];9 ll dp[20][220][220];//
不同題目狀態不同
10int
mod;
11 ll dfs(int pos, int state/*
state變數
*/, int r/*
其他記錄點,在這裡是餘數
*/, bool limit/*
數字上界變數*/)
1234
//計算完，記錄狀態
35if(!limit) dp[pos][state][r] =ans;
36/*
這裡對應上面的記憶化，在一定條件下時記錄，保證一致性，當然如果約束條件不需要考慮lead，這裡就是lead就完全不用考慮了
*/37
return
ans;38}
39ll solve(ll n)
4048 ll ans = 0;49
for(int i = 1; i <= 9 * pos; ++i)//
列舉模50
56return
ans;57}
58int
main()
5968
6970 }

練手題目2：戳這裡

題意：求l-r中有多少個數滿足各位》0的數不大於三個。

解題思路：模板題略作修改。

附ac**：

1 #include 2

using
namespace
std;
3const
int maxn = 22
;4 typedef long
long
ll;5
inta[maxn];
6ll dp[maxn][maxn];
7 ll dfs(int pos, int stat, bool
lim)820
}21if(!lim && stat <= 3) dp[pos][stat] =ans;
22return
ans;23}
24ll solv(ll x)
2532
33return dfs(pos, 0, true
);34}35
intmain()
3646
return0;
47 }

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