最大團問題 分支限界

問題描述：

給定無向圖g=(

v, e)，其中

v是非空集合，稱為頂點集；e是

v中元素構成的無序二元組的集合，稱為邊集，無向圖中的邊均是頂點的無序對，無序對常用圓括號「( )」表示。如果u

∈v，且對任意兩個頂點u，

v∈u有(

u, v)∈

e，則稱u是

g的完全子圖。

g的完全子圖u是

g的團當且僅當

u不包含在

g的更大的完全子圖中。

g的最大團是指

g中所含頂點數最多的團。如果u

∈v且對任意u，

v∈u有(

u, v)∈e，則稱u是

g的空子圖。

g的空子圖u是

g的獨立集當且僅當

u不包含在

g的更大的空子圖中。

g的最大獨立集是

g中所含頂點數最多的獨立集。

對於任一無向圖g=(

v, e)，其補圖

g'=(

v', 

e')定義為：v'=

v，且(u, 

v)∈e'當且僅當(u, 

v)∈e。

如果u是g

的完全子圖，則它也是

g'的空子圖，反之亦然。因此，

g的團與

g'的獨立集之間存在一一對應的關係。特殊地，u是

g的最大團當且僅當u是

g'的最大獨立集。

問題定義：

解空間樹中結點型別：bbnode

活結點優先佇列中元素型別為 cliquenode（cn 表示與該節點相應的團的定點數，un表示結點為根的子樹中的最大頂點樹的上界。level表示結點在子集空間樹中所處的層次；ch 左右兒子的結點標記）

ch=1  左兒子  ch=0  右兒子

ptr 指向解空間樹中相應結點的指標

cn+n-level+1表示定點數上界的un值。

**描述：

相關結構體定義:

class

bbnode;
class
cliquenode
private
: 
intcn,
un,level;
bbnode *ptr;
};class
clique;

addlivenode：將當前構造的活結點 加入到子集空間樹中並插入活結點優先佇列中。

void clique::addlivenode(maxheap&h,int cn,int un,int level,bbnode e,bool

ch)

演算法核心**：bbmaxclique

子集樹的根節點是 初始擴充套件結點 cn為0      

i 表示當前擴充套件結點的解空間樹中所處的層次。

首先考察左兒子：

頂點加入當前團，檢查該頂點與當前團中其他頂點是否有邊相連。

都有邊，可行，納入 活結點 優先佇列中,addlivenode(),接著考察當前擴充套件結點的 右兒子結點，僅當un>bestn時，右子樹中可能含有最優解  ；

否則，不可行。

int clique::bbmaxclique(int

bestx)
}if(ok)
if(cn+n-i >=bestn)
addlivenode(h,cn+1,cn+n-i+1,i+1,e,true
); cliquenode n;
h.deletemax(n);
e =n.ptr;
cn =n.cn;
i =n.level;
}for(int j=n;j>0;j--)
return
bestn;
}

分支限界 最大團問題

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