可持久化線段樹

可持久化線段樹，意思是可以查詢歷史記錄的線段樹。又叫主席樹。我們可以通過記錄不同的根節點，並在每乙個更新到的節點處新建必要的節點。詢問不同版本的主席樹，只需要進入不同的根節點即可。

例題：給定n,m,輸入n個數組成的數列，有m個詢問，每次詢問l,r這個區間中，第k小的數的值。

分析：這個題可以巧妙運用主席樹來解題。

首先對數列進行離散化。

我們令線段樹的每乙個節點，都代表排名為[i,j]區間內數字出現的次數。

假如我們每加入乙個數，就新建一棵線段樹，這一刻線段樹大部分資訊與前一棵一致，只是新加入的乙個數相關的位置的資訊發生了改變。相當於第i棵線段樹，都維護的是[1,i]前i個數的資訊。

發現對於區間查詢[l,r]來說，對於任意乙個排名位置上的數，它在這個區間裡出現的次數，就是第r棵線段樹上出現的次數減去第l-1棵線段樹上出現的次數。同理，我們也可以利用這個字首和思想算出來當詢問[l,r]時，某個排名區間[i,j]裡，所有的數出現的總次數。（只需要讓兩個版本的線段樹中的對應區間的sum值相減即可。）

這樣我們將數列從1到n掃一遍，每一次都將a[i]對已經的離散化的值（即排名）的位置加上1，（常規線段樹操作）但是每次新建乙個版本的線段樹會使時空複雜度**。

然而我們發現，相鄰兩個版本的線段樹之間記錄的資訊基本相差無幾，重新複製一遍實在是浪費。

所以採用主席樹操作，就是僅改變logn個點的情況下，新建一棵線段樹。

具體的操作是：

1.常規add操作中，每新到乙個舊節點，就新建乙個同樣的節點，lson，rson都不變，只是這個區間內維護的sum（數字出現的次數）要比之前多乙個。

2.之後，再根據待加入點與mid的關係，更新新節點左二子或者右兒子。

形象的理解一下，就是在原始線段樹上，從根節點開始，沿著加入這個數的路徑上新建了一條線。好像貼了一層皮。

查詢操作是：

1.同時處理訪問兩個版本的線段樹，直接處理sum的差值x。

2.如果這個差值要大於等於k，則第k大的數一定在這個節點的左二子維護的位置裡；反之，詢問右兒子中第k-x大的數即可。

詳見**：

#includeusing

namespace
std;
const
int n=2e5+10
;int
cnt;
intn,m;
intid,root[n];
inta[n],b[n];
int li(int
x)struct
nodet[
18*n];
void pushup(int
x)void build(int x,int l,int
r) 
int mid=(l+r)>>1;ls(x)=++id;rs(x)=++id;
build(ls(x),l,mid);
build(rs(x),mid+1
,r);
}int add(int x,int l,int r,int
to) 
return
now;
}int query(int u,int v,int l,int r,int
k)int
main()
intl,r,z;
for(int i=1;i<=m;i++)
return0;
}

可持久化線段樹總結（可持久化線段樹，線段樹）

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