HEOI2013 SAO 計數問題

題目大意：

welcome to sao ( strange and abnormal online)。這是乙個 vr mmorpg，含有 n 個關卡。但是，挑戰不同關卡的順序是乙個很大的問題。

有 n – 1 個對於挑戰關卡的限制，諸如第 i 個關卡必須在第 j 個關卡前挑戰，或者完成了第 k 個關卡才能挑戰第 l 個關卡。並且，如果不考慮限制的方向性，那麼在這 n – 1 個限制的情況下，任何兩個關卡都存在某種程度的關聯性。即，我們不能把所有關卡分成兩個非空且不相交的子集，使得這兩個子集之間沒有任何限制。

對於每個資料，輸出一行乙個整數，為攻克關卡的順序方案個數，mod 1,000,000,007 輸出。

題目翻譯：

發現最後一句話就是說：這是一棵樹形圖。

所以我們現在有了一棵樹，只是邊是有向邊，挑戰的限制就是邊的方向，我們必須把所有指向x0的關卡全部通過，才能通過x0關卡。

其實，所有指向x0的邊就是它的度數，所以可以看出來，

這個題是讓我們求這個樹形圖有多少種拓撲序。

分析：

這個題即使看了題解也是理解了半天。網上題解也不是很多，做法類似。

樹形計數問題，可以用樹形dp，首先我們可以先嘗試定義一維，定義f[i]表示以i為根的子樹的拓撲序有多少種，現在我們需要考慮怎樣將若干個兒子的值轉移到父親上。

發現，如果把兩個兒子的拓撲序，看做是兩個區間，那麼我們做的其實是乙個區間合併的操作。

但是由於邊其實是有向的，（雖然我們是無向邊建樹）實際邊的方向還決定父親，該兒子的真正完全的拓撲序誰在前，誰在後。就是說，要先過了父親，還是先過了兒子。

非常無從下手的感覺。我們需要再定義一維。

於是我們這樣定義：

f[i][j]表示，在以i為根的子樹中，根節點i排在第j位的拓撲序的種類數。（其實所有的拓撲序就是f[i][1-size]）

可以發現，j不同時，方案數一定是獨立的。

現在我們要考慮轉移：

當我們迴圈到x的乙個兒子y的時候，size[x]記錄的是當前x與其前面所有兒子子樹的size和，就是還沒有包括y

那麼前面說了，就是乙個區間合併，我們以x的位置作為斷點考慮合併。

先分類（因為我們無向邊建樹，但是實際上是有向邊。）

①x

這個時候，拓撲序合併後x的排名一定在y的前面。

對於f[x][k]，最終x前面有k-1個元素。可以從f[x][i](1<=i<=min(k,size))和 f[y][j]（j的範圍隨後再確定）轉移過來。轉移之後，區間內共有size[x]+size[y]個數

就是說，我在合併後的拓撲序中，先從之前的f[x][i]中的方案數中拿出若干種，放進大區間裡，再從f[y][j]裡選擇一些方案數，放進大區間裡。所以這裡i一定小於等於k

前k-1個位置，從之前的數中先挑出i-1個位置，有c(k-1,i-1)種選法，

後size[x]+size[y]-k個位置（不算x），已經選擇了i-1個數，還剩下size[x]-i個數（x自己不算），有c(size[x]+size[y]-k,size[x]-i)種選法。

再乘上每個選上的集合中自己的變化，也就是f[x][i]自己本身（類似多重集合的排列）

剩下的位置就是f[y][j]的了，不需要再乘組合數，只需乘上f[y][j]就好。

現在我們要確定j的取值範圍：

對於x為了使得y在x的後面，而y之前還能放j-1個數，所以要使得：j-1>=k-i,當然j<=size[y]

所以，j的迴圈範圍是，k-i+1<=j<=size[y]

所以，對於xf[x][k]=(1<=i<=min(k,size[x]))(k-i+1<=j<=size[y]) f[x][i]*c[k-1][i-1]*c[size[x]+size[y]-k][size[x]-i]*f[y][j]

這樣子，發現每次要迴圈一遍j，複雜度是o(n^4)的，直接掛掉。。。

又發現，對於同乙個y，我們好像加的是同一些樹，迴圈的是同一些j。。。

我們把這個式子用乘法分配律提出來一下：

f[x][k]=(1<=i<=min(k,size[x])) f[x][i]*c[k-1][i-1]*c[size[x]+size[y]-k][size[x]-i]*(f[y][k-i+1]+...f[y][size[y]])

所以，加粗部分是可以通過乙個字首合優化處理的，複雜度變成o(1)。

①x>y 即先通過y，再通過x。

其實是同理的。f[x][i](1<=i<=min(k,size))，i的範圍沒有變。

但是由於要保證y在x的前面，j-1個元素，必然不能填滿k-i個位置

所以，j-1=1

所以這裡的狀態轉移方程是：

f[x][k]=(1<=i<=min(k,size[x]))(1<=j<=k-i) f[x][i]*c[k-1][i-1]*c[size[x]+size[y]-k][size[x]-i]*f[y][j]

同理可以乘法分配律，字首和優化。

詳見**：

#include#define ull unsigned long long
#define ll long long
using
namespace
std;
const
int n=1000+10
;const
int mod=1e9+7
;int
n,t;
struct
nodebian[
2*n];
inthead[n],cnt;
void add(int x,int y,int
z)ull f[n][n],sumdp[n][n];
ull c[n][n];
intsize[n];
bool
vis[n];
void dfs(int
x) 
}f[x][k]=sum;}}
else
//.........y...x
f[x][k]=sum;
}} 
size[x]+=size[y];}}
for(int i=1;i<=size[x];i++)//
處理完了x，賦值字首和，以便後續使用 
sumdp[x][i]=(sumdp[x][i-1]+f[x][i])%mod; 
}void clear()//
清空 }
intmain()
//1000的範圍，組合數打表 
cin>>t;
while
(t) 
else
//建無向邊，x，y距離是1，表示x}
dfs(1);
ull ans=0
; 
for(int i=1;i<=size[1];i++)
//方案數 
printf("
%llu\n
",ans);
t--;
}return0;
}

基本思路和**參考shadowice1984，

詳細化了很多。

HEOI2013 SAO 計數問題

NOIP 2013 計數問題

計數問題（二）

問題 E 計數問題

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