生成樹計數問題

【題目描述】

給你乙個n個點，m條邊的無向圖，求其生成樹個數。（1<=n<=12）

【分析】

由於原問題規模較小，可以使用複雜度較高的演算法，如指數級的動態規劃。

那麼如果n=1000呢？

【基爾霍夫矩陣】

對於無向圖，它的kirchhoff矩陣定義為度數矩陣減去鄰接矩陣。

在計算時，用a表示kirchhoff矩陣。則：

當i==j時，a[i][j]=i的度數。

當i!=j時，i到j有k條邊相連時,a[i][j]=-k  (沒有邊相連為0)

例如下圖

它的kirchhoff矩陣為

【matrix-tree定理】

對於乙個無向圖g，它的生成樹個數等於其kirchhoff矩陣任何乙個n-1階主子式的行列式的絕對值。

所謂n-1階主子式，就是對於任意乙個r，將c的第r行和第r列同時刪去後的新矩陣，用cr表示。

【行列式的計算】

首先有幾點性質：

1、矩陣的某一行同時除以某個數，行列式的值不變。

2、矩陣的某兩行相交換，行列式的值取相反數。

那麼我們可以通過這些性質，把原矩陣化為三角形矩陣。則行列式的值就等於對角線上值得乘積。（從左上到右下的對角線）

1

double sum=1
; 2
for(int i=1;i<=n-1;i++)313
if(!flag) return0;
14}15 sum*=a[i][i];
16for(int j=i+1;j<=n-1;j++) a[i][j]/=a[i][i];
17for(int j=i+1;j<=n-1;j++)
18for(int k=i+1;k<=n-1;k++)
19 a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i];20}
21return sum;

就是多組資料而已。。。

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6 #include7 #include8

using
namespace
std;
9#define maxn 101
10int n,m,t,map[maxn][maxn]; //
map表示鄰接矩陣，a表示基爾霍夫矩陣
11double
a[maxn][maxn];
12namespace
init
1316 inline int
read()
1720
while(isdigit(ch)) 
21return x*f;22}
23 }using
namespace
init;
24double
work()
2538
if(!flag) return0;
39}40 sum*=a[i][i];
41for(int j=i+1;j<=n-1;j++) a[i][j]/=a[i][i];
42for(int j=i+1;j<=n-1;j++)
43for(int k=i+1;k<=n-1;k++)
44 a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i];45}
46if(sign&1) sum=-sum;
47return
sum;48}
49int
main()
5062
for(int i=1;i<=n;i++)
6369
for(int i=1;i<=n;i++)
70for(int j=1;j<=n;j++)
71if(map[i][j]) a[i][j]=-1;72
double ans=work();
73 printf("
%0.0lf\n
",ans);74}
75return0;
76 }

生成樹計數問題的簡單推廣

第乙個推廣 在生成樹計數問題中，其實我們做了這樣乙個假設，就是每條邊的權值是1。我們再來看下這個公式 對於關聯矩陣b來說 對於乙個n個頂點m條邊的無向圖g，它的關聯矩陣b是乙個n m的矩陣。對於第i條邊e i u,v 那麼b u i 和b v i 中乙個是1，乙個是 1，第i列其他值為0 我們可以這...

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