陶哲軒實分析 命題 13 3 2 最大值原理

2022-02-09 12:46:41 字數 554 閱讀 4926

設 $(x,d)$ 是緊緻度量空間,並設 $f:x\to\mathbf$ 是連續函式,那麼 $f$ 是有界的.更進一步, $f$ 在某點 $x_\in x$ 達到它的最大值,也在某點 $x_$ 達到它的最小值.
下面我來證明 $f$ 在 $x$ 上能達到最大值(最小值類似,不予詳述).由於   $f$ 在 $x$ 上有界,因此 $f$ 在 $x$ 上有上確界.下證 $f$ 在 $x$ 上必定能達到這個上確界.假如 $f$ 在 $x$ 上不能達到這個上確界,則意味著 $f$ 在 $x$ 上存在著乙個序列

$$f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n),\cdots$$

該序列的極限是 $f$ 在 $x$ 上的上確界 $a$.由於 $x$ 的緊緻性,因此序列

$$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$$

在 $x$ 上有收斂子列收斂到 $x$ 上的乙個元素 $p$,下面證明 $f(p)=a$.這是容易的(具體怎麼證留給讀者).

可見與假設矛盾,因此 $f$ 在 $x$ 上能達到上確界,該上確界即 $f$ 在 $x$ 上的最大值.$\box$

陶哲軒實分析 命題 13 3 2 最大值原理

設 x,d 是緊緻度量空間,並設 f x to mathbf 是連續函式,那麼 f 是有界的.更進一步,f 在某點 x in x 達到它的最大值,也在某點 x 達到它的最小值.下面我來證明 f 在 x 上能達到最大值 最小值類似,不予詳述 由於 f 在 x 上有界,因此 f 在 x 上有上確界 下證...

陶哲軒實分析命題6 4 12

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陶哲軒實分析 命題7 18 證明

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