設$e$是實直線的乙個非空子集，且$e$有上界，那麼存在乙個序列$(a_n)_^$,它的元素都在$e$中，並且$$\lim_a_n=\sup(e)$$證明:由於$e$有上界，所以有上確界.若$\sup(e)$就是$e$的最大值$\max(e)$，則令$\forall 1\leq i\leq n,a_i=\max(e)$即可.若$\sup(e)$不是$e$的最大值，則對任意給定的正實數$\varepsilon$,區間$(\sup(e)-\varepsilon)$裡總有屬於$e$的無限個點.令$$a_1\in (\sup(e)-\varepsilon,\sup(e)-\frac),a_2\in (\sup(e)-\frac,\sup(e)-\frac),\cdots,a_\in(\sup(e)-\frac},\sup(e)-\frac),\cdots$$易得$\lim_a_n=\sup(e)$.那麼，我到底在**使用了選擇公理呢？其實當我構造了可數個開區間，並把數列$(a_i)_^n$中的各個元素放置在這些開區間內的時候，就用到了選擇公理.
可是，假如我是這樣，令
\begin
a_1=\sup(e)-\frac\varepsilon,a_2=\sup(e)-\frac\varepsilon,\cdots,a_=\frac}\varepsilon
\end
此時操作是具體的，可構造的，所以存在性是顯然的，不需要用到選擇公理.
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...
陶哲軒實分析 引理7 1 4 證明
a displaystyle sum na i sum pa i sum pa i 其中 m,n,q in mathbb,m leq n p 證明 可見 n 1 leq p 當 p n 1 時，易得 displaystyle sum na i a sum a i 成立.假設當 p k n 1 leq...