構作有限乘積$\displaystyle\prod_^na_i$的定義.
答：當$n=1$時，令$\displaystyle\prod_^1a_i=a_1$.令$\displaystyle\prod_^a_i=(\prod_^ka_i)a_$.根據數學歸納法，對於一切$n\geq 1$,$\displaystyle\prod_^na_i$都已經被定義.
構作$\displaystyle\prod_a_i$的定義.
答：設$x$是乙個基數不小於1的有限集.則存在從$\:1\leq i\leq n\}$到$x$的雙射$g$.定義$\displaystyle\prod_a_i=\prod_^na_$.
注1:完全仿照加法的情形，可以證明$\displaystyle \prod_a_i$的定義是合理的.
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 12 5 10
度量空間 x,d 叫作是全有界的,如果對於每個 varepsilon 0 都存在正整數 n 和 n 個球 b x varepsilon cdots,b x varepsilon 它們覆蓋 x a 證明 全有界的空間是有界的.begin 證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的...