設$n$是正自然數，並設$g:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$是函式$g(x):x^}$.
a):證明$g$在$(0,+\infty)$上連續.
證明:$\forall x_0\in (0,+\infty)$,$x_1\in (0,+\infty)$,$\frac}}}}=(\frac)^}$.令$x_0=x_1+\varepsilon$.則
\begin
\label
(\frac)^}=(1+\frac)^}
\end
下面證明$\lim_(1+\frac)^}=1$.即證$\lim_1+\frac=1$(為什麼?注意到$n$是常數)，而這是容易的.
b):證明$g$在$(0,+\infty)$上可微，且$\forall x\in (0,+\infty)$,$g'(x)=\fracx^-1}$.
證明:讓我們先看函式$g^(x):(0,+\infty)\to (0,+\infty)$.易得$g^(x)=x^n$.易得$(g^(x))'=nx^$.易得$\forall x\in (0,+\infty)$,$(g^(x))'\neq 0$.而且由於$g$在$(0,+\infty)$上連續，因此由反函式定理，可得$g'(y_0)=\frac(x_0))'}=\frac}$.其中$g^(x_0)=y_0$,即$x_0^n=y_0$.因此$g'(y_0)=\frac}}=\fracy_0^-1}$.得證.
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
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陶哲軒實分析 習題 12 5 10
度量空間 x,d 叫作是全有界的,如果對於每個 varepsilon 0 都存在正整數 n 和 n 個球 b x varepsilon cdots,b x varepsilon 它們覆蓋 x a 證明 全有界的空間是有界的.begin 證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的...