設$f:\mathbf^n\to \mathbf^m$是可微函式，而且對於一切$x\in\mathbf^n$,$f'(x)=0$.證明$f$是常數.
證明:由於$\forall x\in\mathbf^n$,$f'(x)=0$,因此對於一切非零向量$v$,$\forall x\in\mathbf^n$,\begin\label\mathbf_f(x)=0\end.設$f$的座標形式為$(f_1,\cdots,f_m)$,則易得
\begin
\label
\begin
\lim_\frac=0\\
\vdots\\
\lim_\frac=0\\
\end
\end
設$x_1=x_0+t_1v,x_2=x_0+t_2v$.其中$0
因此，$f$是常數.
注1:陶哲軒說把$f$的定義域改成$\mathbf^n$中的連通開子集，命題照樣成立.但是我連通開子集還沒學過，因此把這個附加的挑戰放到將來.現在是2023年4月15日,我來解決這個附加的挑戰.我不打算詳細給出,只給出關鍵的引理.我們來看 $\omega$ 在 $\mathbf$ 上的投影 $\omega_}$,易得 $\omega_}$ 是 $\mathbf$ 上的連通開子集(為什麼).因此 $\omega_}$ 是 $\mathbf$ 上的開區間(根據陶哲軒實分析 定理 13.4.5).
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 12 5 10
度量空間 x,d 叫作是全有界的,如果對於每個 varepsilon 0 都存在正整數 n 和 n 個球 b x varepsilon cdots,b x varepsilon 它們覆蓋 x a 證明 全有界的空間是有界的.begin 證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的...