如$a\subset [0,1]$是這樣一些開區間$(a_i,b_i)$的並集，使得$(0,1)$中的每一有理數包含在某個$(a_i,b_i)$內，求證$a$的邊界=$[0,1]-a$.
證明：$[0,1]-a$中的點只能是$a$的邊界點或外點.下證不可能是$a$的外點.
如果是$a$的外點，則這個點的鄰域小到一定程度後，與$a$不相交，然而我們知道無論這個點的鄰域多麼小，總包含有理數，所以總與$a$相交，矛盾.所以$[0,1]-a$的點必是$a$的邊界點.
下證$a$的邊界點必不屬於$a$.只要證明如果$a$的某個邊界點屬於$a$,那麼這個邊界點也會是$a$的內點，從而會匯出矛盾.
假如$a$的邊界點屬於$a$,則邊界點必被乙個含於$a$的開區間覆蓋.則邊界點成了$a$的內點.矛盾.所以$a$的邊界點必不屬於$a$,而且$a$的邊界點必屬於$[0,1]$,即屬於$r-a$.
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