迴圈群的子群是迴圈群

迴圈群的子群是迴圈群.

對於$(\mathbb_m,+)$來說，當$m=1$時，$(\mathbb_m,+)=(0,+)$,其子群就是$(\,+)$,當然是迴圈群.當$m>1$時，設該迴圈群的某一子群$h$有$k$個元素，分別為$a_^,\cdots,a_^$.從這$k$個元素裡取出兩個相鄰元素$a_i^,a_^$，求它們的最大公因數$a_i^$,得到$k-1$個最大公因數$a_1^,\cdots,a_^$.我們有$\forall 1\leq i\leq k-1,a_i^\in h$.這是因為根據貝祖定理，$\exists x,y\in \mathbb$,使得$xa_i^+ya_^=a_i^$.

然後我們把$a_1^,\cdots,a_^$進行與$a_^,\cdots,a_^$同樣的處理，得到$a_1^,\cdots,a_^$.這樣子一直做下去,最終我們會得到乙個$a_1^$.$h$是由$a_1^$生成的迴圈群(為什麼?).

對於$(\mathbb,+)$來說，論證和$(\mathbb_m,+)$類似.若$(\mathbb,+)$的子群是$(\,+)$,則顯然這個子群是迴圈群.若這個子群裡的元素多於乙個，則該子群顯然是無限群.把子群裡的元素按從小到大排列$a_^,\cdots,a_^,\cdots$取相鄰兩個數的最大公約數，我們得到另一無限數列$a_^,\cdots,a_^\cdots$這樣子一直進行下去.我們知道，$a_^\geq \cdots\geq a_^\geq \cdots>0$

則容易得到$a_^, a_^, \cdots, a_^ \cdots$這個無限數列中，必定只有有限個數不同,除了這有限個不同的數外，其餘的數都相同(為什麼?).那麼，我們容易得到，所有的數其實都是某乙個數的倍數.這個數就是$h$的生成元(為什麼?)，所以$h$是迴圈群.

注:以上命題證明了elementary methods in number theory 中的如下命題:

迴圈群筆記

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hdu5451 迴圈群，矩陣快速冪

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迴圈群 乙個元素不斷作用生成的群

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